交错级数判别法

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。

具有以下形式的级数

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!

其中所有的a_n 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列a_n的极限存在且等于0，并且每个a_n小于或等于a_n-1（即，数列a_n是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!

那么部分和

S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!

逼近L有截断误差

\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!

证明编辑

我们假设级数具有形式 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$ ．当 $n$ 趋于无穷时，数列 $a_{n}$ 的极限等于0，并且每个 $a_{n}$ 小于或等于 $a_{n-1}$ （即 $a_{n}$ 是单调递减数列）．^[1]

收敛性证明编辑

给定数列前 $(2n+1)$ 项的部分和 $S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}$ ．由于每个括号内的和非正，并且 $a_{2n+1}\geq 0$ ，那么前 $(2n+1)$ 项的部分和不大于 $a_{0}$ .

并且每个部分和可写做 $S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)$ ．每个括号内的和非负．因此，级数 $S_{2n+1}$ 单调递增：对任何 $n\in N$ 均有： $S_{2n+1}\leq S_{2n+3}$ .

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 $s$ 使得 $\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ .

由于 $S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}$ 并且 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ，那么 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=s$ ．给定数列的和为 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ ，其中 $s$ 为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明编辑

在收敛性的证明过程中，我们发现 $S_{2n+1}$ 是单调递增的．由于 $S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)$ ，并且括号中的每一项是非正的，这样可知 $S_{2n}$ 是单调递减的．由先前的论述， $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=L$ ，因此 $S_{2n}\geq L$ ．类似的，由于 $S_{2n+1}$ 是单调递增且收敛到 $L$ ，我们有 $S_{2n+1}\leq L$ ．因此我们有 $S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}$ 对所有的n均成立．