代數整數

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數學裡,代數整數algebraic integer)是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個系數的首一多項式的根。其中首一(英文:monic)意謂最高次項的系數是1。

因此,所有代數整數都是代數數,但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环,通常记作

如果是整係數本原多項式(即系數的最大公因数是1的多项式),但非首一多項式,則的根都不是代數整數。

定义编辑

以下是代数整数四种相互等价的定义。设K代数数域有理数 有限扩张)。根据本原元定理K可以写成 的形式。其中 是某个代数数。设有 ,则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立:

  1. 存在整系数多项式: ,使得 
  2. α 上的极小首一多项式是整系数多项式。
  3.  是有限生成的 -
  4. 存在有限生成的 -子模: ,使得 

例子编辑

  • 有理数 中的代数整数就是整数。换句话说,  交集是整数环 。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式
 
有一个根是有理数: ,其中pq互素的整数,那么必然有:分母q 整除 ,以及分子p 整除 。因此,由于代数整数是某个首一多项式的根,如果它是有理数,那么它的分母整除多项式的最高次項,也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1,即是说它是整数。反过来,所有的整数n都是整系数首一多项式 的根,所以是代数整数。
  • 一个给定的代数数域  的交集称为这个数域的(代数)整数环,记作 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说,给定一个数域: ,那么对应的整数环中不仅有整数,还有 ,因为 是首一多项式 的根。
  •  不是代数整数。这是因为 在有理数域上的最小多项式 ,不是一个首一多项式。
  •  是一个代数整数。它是多项式 的根。一般来说,如果整数 除以4余1,那么 也是代数整数,因为它是多项式 的根。
  • 给定素数pp单位根 也是一个代数整数,因为是首一多项式 的根。实际上,p分圆域 的整数环就是 

性质编辑

  • 兩個代數整數的和是一個代數整數,他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達;但他們的商就不一定是代數整數。
  • 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說,代數整數構成一個,並且在任何代數擴張下是整閉的。
  • 任何從整數出發,透過和、積與开方得到的數都是代數整數,但並非所有代數整數都可依此構造,例如,大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
  • 代數整數是裴蜀整环

參見编辑

参考来源编辑

  • Daniel A. Marcus, Number Fields(数域), third edition, Springer-Verlag, 1977