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代數曲線

代数变量维度一

代數幾何中,一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面上由一個齊次多項式定義的零點。

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仿射曲線编辑

定義在 上的仿射代數曲線可以看作是 中由若干個 -元多項式 定義的公共零點,使得其维数為一。

利用結式,我們可以將變數消至兩個,並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線 ,其中 ,因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

射影曲線编辑

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化,它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程  )中,我們作代換:

 

遂得到 個齊次多項式,它們在射影空間 中定義一條曲線,此射影曲線與開集 的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括 中的費馬曲線 ,其上的有理點對應到費馬方程 的互素整數解。

代數函數域编辑

代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究,後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域 上的函數域 超越次數為一的有限型域擴張,換言之:存在元素 使得  超越,而且 有限擴張

以複數域 為例,我們可以定義複係數有理函數 。變元 對代數關係 生成的域 是一個橢圓函數域,代數曲線  給出它的一個幾何模型。

若基 代數封閉域,則函數域無法只由多項式的零點描述,因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域 並考慮其上的代數曲線 ,此方程定義了一個 的有限擴張,因而定義了一個函數域,然而

 

代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述,對於一般的基域或者上的曲線論,概形論能提供較合適的框架。

複代數曲線與黎曼曲面编辑

複射影曲線可以嵌入 維複射影空間 。複射影曲線在拓撲上為二維的對象,當曲線光滑時,它是個緊黎曼曲面,即一維的緊複流形,因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格(直觀說就是曲面有幾個洞或把手)等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面,則可以採複分析手法加以研究。另一方面,黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇:複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與 上的函數域。因此一維複分析(包括位勢論)、代數幾何論的方法此時能相互為用,這是高等數學裡很常見的現象。

奇點编辑

判斷方式编辑

曲線在一點 的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於 中的曲線:設該曲線由  個變元的齊次多項式 定義,若其雅可比矩陣 在區線上一點 滿秩,則稱它 點光滑;反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式 的選取無關,也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子,假設曲線 由齊次方程式 定義,則 的奇點恰為 上使得 為零的點,即:

 

在特徵非零的域上,一條代數曲線僅有有限個奇點;無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點;事實上,奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消,由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線;然而對代數封閉域上的射影曲線,其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格,後者是個雙有理不變量。

奇點分類编辑

 
x3 = y2

曲線的奇點包括多重點(這是曲線的自交點)及尖點(如仿射曲線 之於原點 ,見右圖)等等。一般來說,仿射平面曲線 在一點 的奇點性質可以透過下述方式理解:

透過平移,不妨假設 。將多項式 寫成

 

其中  齊次多項式。直觀地想像, 在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項,設之為 。根據齊次性可以將之分解成

 

換言之,曲線在原點附近將近似於 條(含重複)直線 的聯集。上式中相異的直線數 稱作分支數,正整數 稱作平面曲線在該點的重數,此外還有一個內在的不變量 ,其中 是該曲線的正規化態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如一般尖點對應到 一般雙重點對應到 ,而一般n重點則對應到 

各奇點的不變量δP決定平面曲線 的虧格:設 ,則有

 

對於在複數域上的平面曲線,John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ,稱為Milnor數:同樣假設 ,在原點附近夠小的四維球 內有 ,此時有連續映射

 

由於  同倫等價於三維球面 ,於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明:

 

事實上, 在ε夠小時是 中的一個環圈,稱作奇點環圈,它具有複雜的拓撲性質。例如: 在尖點附近的奇點環圈是三葉結

曲線的例子编辑

有理曲線编辑

 上的有理曲線雙有理等價於射影直線 的曲線,換言之,其函數域同構於單變元有理函數域 。當 代數封閉時,這也等價於該曲線之虧格為零,對一般的域則不然;實數域上由 給出的函數域虧格為零,而非有理函數域。

具體地說,一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線,例子請見條目有理正規曲線

任何 上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下:過給定有理點 而斜率為 的直線交平面上一條二次曲線於兩點,就x坐標來說,交點的x坐標是一個二次多項式的根,其中一個屬於 的根已知,即 的x坐標;因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於 ,而且能表作  上的有理函數。y坐標的作法相同。

 
x2 + xy + y2 = 1

。考慮斜橢圓 ,其中 是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線 ,並帶入E的等式,於是得到:

 
 

這就給出E的有理參數化,於是證明了E是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下,則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點,得到射影曲線

 

以上參數化遂表為

 

若取 為整數,對應的 不定方程 的整數解;若將 代以 ,則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理,藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形,例如取 ,就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。

橢圓曲線编辑

橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線,它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點,這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式:

 

橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構,使得給定有理點為單位元素,且加法為代數簇的態射,因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形,三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線,此阿貝爾簇同構於 ,其中的 由相應的橢圓函數給出。

虧格大於一的曲線编辑

對虧格大於一的曲線,其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據Faltings定理,定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點;若視為黎曼曲面,它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線英语Hyperelliptic curve克萊因四次曲線英语Klein quartic與一開始提到的費馬曲線英语Fermat curve 的情形。

文獻编辑

  • Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
  • Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
  • Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
  • Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
  • Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
  • John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
  • George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
  • Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988