极限点

极限点（英語：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点^{[註 1]}随意逼近的點。^{[註 2]}

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。^{[註 3]}

定义编辑

$A$ 为拓扑空间 $X$ （其拓撲為 $\tau \subseteq P(X)$ ）的子集且 $x\in X$ ，若所有 $x$ 的开集也包含至少一个 $A$ 內的非x的点，即

(\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}

稱 $x$ 為 $A$ 的极限点（注意到 $x$ 不一定属于 $A$ ）。由 $A$ 內所有極限點所組成的集合稱為 $A$ 的導集，標記為 $A^{\prime }$ 。

在T₁空間裡，上述定義和要求 $x$ 的每個鄰域皆包含無限多個 $A$ 的點是等價的。^{[註 4]}

另外，若X為序列空間，則可稱x ∈ X為S的極限點，若且唯若存在一個由S \ {x}的點組成的ω序列，其極限為x；這也是「極限點」此一名稱的由來。

如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点，则x是特殊类型极限点，称为S的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。

如果包含 $x$ 的所有開集都包含不可数多個 $S$ 的點，則 $x$ 是特殊类型的极限点，稱為 $S$ 的缩合点（condensation point）。

在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有ω‐会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必爲闭集。

在带有度量函數 $d$ 的度量空间 $X$ 且有 $A\subseteq X$ 和 $x\in X$ ，若對所有 $\epsilon >0$ ，存在 $a\in A$ 值使得 $0<d(x,\,a)<\epsilon$ ，也就是

(\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]

這樣稱 $x$ 是 $A$ 的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。直觀上意為， $x$ 可以被 $A$ 裡的點（以度量 $d$ 的意義上）無限制地逼近。

應用上， $a$ 為定義域的聚集點也是函數極限能在 $a$ 上有定義的前提條件。

关于极限点的性质： $x$ 是 $S$ 的极限点，当且仅当它属于 $S$ \ { $x$ }的闭包。
- 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是 $S$ 的极限点，当且仅当所有 $x$ 的邻域都包含一个非 $x$ 的点属于S，当且仅当所有 $x$ 的邻域含有一个点属于 $S$ \ {x}，当且仅当 $x$ 属于 $S\ {''x''}$ 的闭包。

$S$ 的闭包具有下列性质： $S$ 的闭包等于 $S$ 和其導集的并集。
- 证明：（从左到右）设 $x$ 属于 $S$ 的闭包。若 $x$ 属于S，命题成立。若 $x\notin S$ ，则所有 $x$ 的邻域都含有一个非 $x$ 的点属于 $S$ ；也就是说，x是 $S$ 的极限点， $x\in S'$ 。（从右到左）设 $x$ 属于S，则明显地所有 $x$ 的邻域和 $S$ 相交，所以 $x$ 属于 $S$ 的闭包。若 $x$ 属于L(S)，则所有 $x$ 的邻域都含有一个非 $x$ 的点属于S，所以 $x$ 也属于 $S$ 的闭包。得证。

上述结论的推论给出了闭集的性质：集合 $S$ 是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
- 证明1：S是闭集，当且仅当 $S$ 等于其闭包，当且仅当 $S$ = $S$ ∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
- 证明2：设 $S$ 是闭集， $x$ 是 $S$ 的极限点。则 $x$ 必须属于S，否则 $S$ 的补集为 $x$ 的开邻域，和 $S$ 不相交。相反，设 $S$ 包含所有它的极限点，需要证明 $S$ 的补集是开集。设 $x$ 属于 $S$ 的补集。根据假设，x不是极限点，则存在 $x$ 的开邻域U和 $S$ 不相交，则U在 $S$ 的补集中，则 $S$ 的补集是开集。

空间 $x$ 是离散空间，当且仅当 $x$ 的子集都没有极限点。
- 证明：若 $x$ 是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若 $x$ 不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则 $x$ 是 $x$ 的极限点。

若空间 $x$ 有密着拓扑，且 $S$ 是 $x$ 的多于一个元素的子集，则 $x$ 的所有元素都是 $S$ 的极限点。若 $S$ 是单元素集合，则所有 $x$ \ $S$ 的点仍然是 $S$ 的极限点。
- 说明：只要 $S$ \ {x}非空，它的闭包就是X；只有当 $S$ 是空集或 $x$ 是 $S$ 的唯一元素时，它的闭包才是空集。