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伯特蘭-切比雪夫定理

伯特蘭-切比雪夫定理說明:若整數,則至少存在一個質數,符合。另一個稍弱說法是:對於所有大於1的整數,存在一個質數,符合

1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1850年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明,而艾狄胥則借二項式係數給出了另一個簡單的證明。

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相關定理编辑

西爾維斯特定理编辑

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明: 個大於 的連續整數之積,是一個大於 的質數的倍數。

艾狄胥定理编辑

艾狄胥證明:對於任意正整數 ,存在正整數 使得對於所有   之間有 個質數。

他又證明  時,而且有,其中两個質數分别是4的倍數加1,4的倍數減1。

根據質數定理,  之間的質數數目是 

證明编辑

證明的方法是运用反證法,反設定理不成立,然后用两种方法估计 的上下界,得出矛盾的不等式

註:下面的證明中,都假設 屬於質數集。

不等式1编辑

這條不等式是關於 的下界的。

  • 對於正整數  

證明 :

對於   
  
因此 

引理1编辑

  •  

证明: 注意到所有大于 k+1 而小于 2k+1 的质数都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k! 中,于是  的因子。

 
同时又有  
于是就有  

定理1编辑

這個定理和 的上界有關。

  • 對於所有正整數  

數學歸納法

 ,2 < 16,成立。

假設對於所有少於 的整數,敘述都成立。

顯然,若n>2且n是偶數, 。对于奇数的n,设n=2k+1

引理1和歸納假設可得:

 

系理1编辑

首先的定理:

  •  是質數, 是整數。設 是最大的整數使得  ,則 

下面這些系理和 的上界有關。


 為質數,設 是最大的整數使得   整除  ,則:

 
  ,所以
 

于是得到三个上界:

  1.  
  2.   
  3.   (因为 2n! 中只有两个 p,在 n! 中恰有一个 p

核心部分编辑

假設存在大於1的正整數 ,使得沒有質數 符合 。根據系理1.2和1.3:

 

再根據系理1.1和定理1:   上式最右方  

結合之前關於 的下界的不等式1

 
 
 

兩邊取2的對數,并设 

 

顯然 ,即 時,此式不成立,得出矛盾。 因此 時,伯特蘭—切比雪夫定理成立。

再在 時驗證這個假設即可。

參考编辑

外部連結编辑