伽辽金法

伽辽金方法(Galerkin method)是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题(通过方程所对应泛函变分原理)简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维(多变量)的线性方程组又可以通过线性代数方法简化,从而达到求解微分方程的目的。

伽辽金法采用微分方程对应的弱形式,其原理为通过选取有限多项试函数(又称基函数形函数),将它们叠加,再要求结果在求解域内及边界上的加权积分(权函数为试函数本身)满足原方程,便可以得到一组易于求解的线性代数方程,且自然边界条件能够自动满足。

必须强调指出的是,作为加权余量法的一种试函数选取形式,伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解(仅仅是加权平均满足原方程,并非在每个点上都满足)。

因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法,所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。


常常用到伽辽金法的领域有:

通过抽象问题的简介编辑

一个问题的弱形式编辑

我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法,将问题表示成在一个希尔伯特空间 上的弱形式,也就是,求解 使得对于所有 

 

成立。这里, 是一个双线性型表达式,即  是一个 上的线性形表达式。

伽辽金离散化编辑

选取一个n 维子空间 ,然后求解问题在子空间中的投影:求 使得对于所有 

 

我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变,但是求解域改变了。

伽辽金正交性编辑

这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为 ,我们可以取 为原方程的一个试矢量。带入并相减,便得到误差的伽辽金正交性关系

 

这里 是真实解 和伽辽金方程的解 之间的误差。

矩阵形式编辑

因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组,我们来构造它的矩阵形式,以便利用计算机进行数值求解。

  空间中的一组。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的,也即:求解 使得

 

用上述基矢量表示出  ,将其代入上面的方程得到

 

这样我们就得到了上面这组 型的线性方程组,式中

 

矩阵的对称性编辑

由于矩阵项的定义,伽辽金方程的系数矩阵对称矩阵充要条件是双线性型表达式 是对称的。

伽辽金方法的进一步分析编辑

这里,我们只讨论对称双线性型,也即

 

虽然伽辽金方法并不要求一定对称,但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且,非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫-伽辽金方法

下面我们分两步分析上述方法。第一步,论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的,因此存在唯一解。第二步,讨论伽辽金解 的误差大小。

分析过程主要依据双线性型的两个性质:

  • 有界性:对于所有 ,下式成立
     
  • 椭圆性:对于所有 ,下式成立
     

根据Lax-Milgram定理(参看弱形式),这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数(这些范数通常称为能量范数)。

伽辽金方程的适定性编辑

因为 ,双线性型的有界性和椭圆性对于 也成立。因此,伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。

准最佳近似(Céa引理)编辑

真实解和伽辽金解之间的误差 有如下估计

 

上式翻译成文字语言就是:伽辽金解 的误差(和真实解 的差)能控制在 中最优解矢量的误差的 倍以下(在量级上)。特别有用的是,从此对误差的估计可以只在空间 中进行考虑,而完全不用回到求解的方程。

证明编辑

因为证明非常简单,并且是各种伽辽金法的基本原理依据,因此简单介绍如下: 根据双线性型的椭圆性和有界性(下式中的两个不等号),以及伽辽金法的正交性(下式中间的等号),我们对于任意 有:

 

全式除以 并对所有可能的 下确界得到该引理。

例子编辑

  1. 有限元法中应用泊松方程
  2. 应用到共轭梯度法

文献编辑

通常,伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。 因此,读者可以参考有限元方法的教科书。

譬如

  • P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978


在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到:

  • Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003


外部链接编辑