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量子力學裏,位置算符position operator)是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記,位置算符 的本徵態 滿足方程式

其中, 是本徵值,是量子態為 的粒子所處的位置, 只是一個數值。

位置空間表現编辑

設定量子態   。量子態    的位置空間表現,即波函數,分別定義為

 
 

在位置空間裡,定義算符  

 

在位置空間裡,使用連續本徵態   所組成的基底,任意量子態   展開為

 

將量子算符   作用於量子態   ,可以得到

 

應用狄拉克正交歸一性  ,這方程式與左矢   的內積為

 

量子態   的展開式為

 

應用狄拉克正交歸一性,這方程式與左矢   的內積為

 

所以,兩個波函數    之間的關係為

 

總結,位置算符   作用於量子態   的結果   ,表現於位置空間,等價於波函數    的乘積   。位置算符   的位置空間表現是位算符   ,可以稱算符   為位置算符。

本徵函數编辑

假設,在位置空間裡,位置算符  本徵值 本徵函數  。用方程式表達,[1]

 

這方程式的一般解為,

 

其中,  是常數, 狄拉克δ函數

注意到   無法歸一化

 

設定   ,函數   滿足下述方程式:

 

這性質不是普通的正交歸一性,這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質,位置算符的本徵函數具有完備性,也就是說,任意波函數   都可以表達為本徵函數的線性組合

 

雖然本徵函數   所代表的量子態是無法實際體現的,並且嚴格而論,不是一個函數,它可以視為代表一種理想量子態,這種理想量子態具有準確的位置   ,因此,根據不確定性原理,這種理想量子態的動量均勻分佈

期望值编辑

採用位置空間表現,設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏,希爾伯特空間是   ,是實值定義域平方可積函數的空間。[2]:11兩個態向量的內積是

 

對於任意量子態   ,可觀察量   的期望值為

 

位置算符   作用於量子態   的結果,表現於位置空間,等價於波函數    的乘積,所以,

 

粒子處於    微小區間內的機率是

 

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分,就是粒子位置的期望值。

三維案例编辑

推廣至三維空間相當直截了當,參數為三維位置   的波函數為   ,位置的期望值[2]:41-42

 

其中,  是積分體積。

位置算符   的作用為

 

對易關係编辑

位置算符與動量算符的對易算符,當作用於波函數時,會得到一個簡單的結果:

 

所以,  。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量   絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言,  的本徵態與   的本徵態不同。

根據不確定性原理

 

由於    是兩個不相容可觀察量,  。所以,  的不確定性與   的不確定性的乘積   ,必定大於或等於  

參考文獻编辑

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914