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在数学中,低维拓扑拓扑学中研究二、三、四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形四维流形英语4-manifold、扭结和辫群英语braid group等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学的一部分。

目录

历史编辑

自1960年起,一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注。1961年,斯梅尔(英语:Smale)证明了在五维以上,庞加莱猜想是成立的[1]。对于一维二维的庞加莱猜想,人们早已熟知。于是在当时,三维四维的庞加莱猜想似乎是最难以证明的,因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情形。1980年代初,威廉·瑟斯顿英语:Thurston)的几何化猜想[2],预示着低维几何和低维拓扑有紧密的关系。1980年代早期,沃恩·琼斯英语:Vaughan Jone)发现了琼斯多项式[3],将纽结理论引向新的研究方向,并且琼斯多项式中含藏着低维拓扑和数学物理的联系。

二维拓扑空间编辑

曲面是一个二维的拓扑流形。我们最熟悉的例子是欧几里得空间中三维实心体的边界,例如三维球体的边界。除此之外,也有一些曲面不能被嵌入三维欧式空间中,例如克莱因瓶

闭曲面的分类编辑

闭曲面的分类理论陈述如下[4]:任意连通的闭曲面属于以下三种类别之一

  1. 球面
  2. g环面连通和,这里 
  3. k实射影平面连通和,这里 

前两个类别的曲面是可定向的,若把球面当成是0个环面连通和,那么第一个类别可归入第二个类别。第二个类别中,数字g被叫做曲面的亏格。曲面的亏格欧拉示性数有一定联系:对于g个环面的连通和,它的欧拉示性数为2 − 2g.

三维拓扑空间编辑

定义编辑

如果一个拓扑空间 满足以下条件,那么 是一个三维拓扑流形[5]

  1.  第二可数空间
  2.  豪斯多夫空间
  3.  上每一个点都被包含于一个开集,而且这个开集和三维欧式空间同胚

三维流形理论编辑

在三维情况,拓扑流形、分段线性流形、光滑流形三个范畴都等价,因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类。三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别,因此有许多研究方法专门适用于三维流形,而不能被推广至更高的维度。三维流形的特殊性,导致了三维流形和许多领域有着密切的联系,例如:纽结理论几何群论英语geometric group theory双曲几何数论拓扑量子场论规范场论Floer同调论英语Floer homology偏微分方程。三维流形理论被划分为低维拓扑或几何拓扑学的一部分。

参考来源编辑

  1. ^ Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR0137124
  2. ^ Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.
  3. ^ Introduction to Jones PolynomialVaughan F.R. Jones.[2005-8-12]
  4. ^ Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., Conway's ZIP Proof (PDF), American Mathematical Monthly, May 1999, 106 (5), doi:10.2307/2589143, (原始内容 (PDF)存档于2010-06-12), page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof 
  5. ^ John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8. 

外部链接编辑