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定義编辑

對一個   矩陣  ,在  子行列式余子式  定義為刪掉   的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令  ,稱為   餘因子代数余子式)。矩陣   稱作  餘因子矩陣余子矩阵)。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣,記為  

範例编辑

考慮三階方陣

 

今將計算餘因子  。子行列式   是下述矩陣(在   中去掉第2橫列與第3縱行)之行列式:

  給出  

根據定義得到

 
 
 

餘因子分解编辑

對一   矩陣:

 

其行列式   可以用餘因子表示:

 
(對第 j 縱行的餘因子分解)
 
(對第 i 橫列的餘因子分解)

古典伴隨矩陣编辑

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」,它與逆矩陣的計算有極大的關係。

 


將餘因子矩陣

 

轉置之後,會得到「古典伴隨矩陣」:

 

克萊姆法則编辑

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式:

 

  時,  的逆矩陣由下式給出:

 

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻编辑

  • Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結编辑