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幾何學中,偽多邊形(英語:pseudogon)又稱為超無限邊形,是一種位於雙曲平面上的無限邊形,具有偽多邊形群英语Coxeter_notation#Rank two groups(pseudogonal group)的對稱性諾曼·約翰遜英语Norman Johnson (mathematician)將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為偽多邊形,其外接圓為極限圓,正偽多邊形在施萊夫利符號中用{iπ/λ}表示,其中λ表示發散垂直鏡射的週期距離[1],用來表示其拓撲結構具有比無限邊形更多的邊與頂點,換句話說,若其不為發散鏡射形式則只能看做為普通的無限邊形,也因此偽多邊形無法在平面上存在。此外,偽多邊形也可以解釋為未完全具備多邊形性質的多邊形[2],此種情況下未必需要位於雙曲面,這種偽多邊形其英文也可以寫為pseudo polygon[3][4]

偽多邊形
超無限邊形
Pseudogon example.png
偽多邊形(Pseudogon)
雙曲正無限邊形
雙曲面上的偽多邊形。
類型 正多邊形
二維雙曲鑲嵌
iπ/λ
頂點 iπ/λ
施萊夫利符號 {iπ/λ}
{∞}
考克斯特圖英语Coxeter diagram CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png
對稱群 [iπ/λ]
內角 雙曲平角
對偶 自身對偶
特性 非嚴格凸, 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, 雙曲線, 發散

正偽多邊形编辑

 
位於三階偽多邊形(iπ/λ,λ=π/9)的偽多邊形與其外接圓超圓形。

正偽多邊形(英語:regular pseudogon)又稱雙曲正無限邊形,是一種具有[iπ/λ]考克斯特群的羅氏無限邊形,依據其考克斯特群,其邊數和頂點數將會是iπ/λ個,事實上它頂點數為正無窮大,邊長為λ,其中iπ/λ用來表示超平形(ultraparallel)的鏡射,虛數值使鏡射變換的角度以一個雙曲線的形式,而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ),而λ∈{ π/n | n∈Z }。

其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪,和三維雙曲密鋪如:正七邊形鑲嵌七階三角形鑲嵌等,做類比[5]。其屬於非緊湊空間

正偽多邊形無法在平面上存在,但可以構造在雙曲面。其可以擁有外接圓內切圓,但他們必須是雙曲超圓形。

扭歪偽多邊形编辑

扭歪偽多邊形(英語:Skew pseudogon)是偽多邊形對應的扭歪多邊形,即位於非緊雙曲空間的雙曲扭歪無限邊形。

 
圍繞著偽多邊形的三角形也可以構造出等邊扭歪偽多邊形
外接圓為超圓形的無限邊形
{3,7}的皮特里多邊形 t{3,7}的皮特里多邊形
 
正扭歪
 
半正扭歪

鑲嵌與密鋪编辑

正偽多邊形不能構成平面鑲嵌,但可以構成雙曲鑲嵌,如三階偽多邊形鑲嵌,其考克斯特記號計為     。該鑲嵌可以視為偽多邊形在三維空間的類比,稱為偽多面體(pseudohedron)。

二個偽多邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面,稱為二階偽多邊形鑲嵌

羅式鑲嵌
半正
∞.∞ 2 4.4.∞ 3.3.3.∞
       
{iπ/λ, 2}
     
{2, iπ/λ}
     
t{2, iπ/λ}
     
sr{2, iπ/λ}
     
半正偽多邊形
對稱群:[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2) [iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2)
                                               
             
{9i,9i}
超無限階
偽多邊形鑲嵌
t{9i,9i}
截角超無限階
偽多邊形鑲嵌
r{9i,9i}
截半超無限階
偽多邊形鑲嵌
2t{9i,9i}=t{9i,9i}
截角超無限階
偽多邊形鑲嵌
2r{9i,9i}={9i,9i}
超無限階
偽多邊形鑲嵌
rr{9i,9i}
小斜方截半
超無限階
偽多邊形鑲嵌
tr{9i,9i}
大斜方截半
超無限階
偽多邊形鑲嵌
sr{9i,9i}
扭稜超無限階
偽多邊形鑲嵌
[iπ/λ,3]非緊湊雙曲半正鑲嵌系列
對稱群:[iπ/λ,3], (*∞32) [iπ/λ,3]+
(∞32)
[1+,iπ/λ,3]
(*∞33)
[iπ/λ,3+]
(3*∞)
考克斯特記號                                                                  
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    or    
      =
    or    
     
=    
圖像              
頂點圖 ∞.∞.∞ 3.∞.∞ 3.∞.3.∞ ∞.6.6 3 3.4.∞.4 4.6.∞ 3.3.3.3.∞ 3.∞.3.∞.3.∞
類比 {∞,3} t{∞,3} r{∞,3} t{3,∞} {3,∞} rr{∞,3} tr{∞,3} sr{∞,3} h{∞,3} h2{∞,3} s{3,∞}
半正對偶
考克斯特記號                                                            
圖像              
頂點布局
類比
V∞3 V3.∞.∞ V(3.∞)2 V6.6.∞ V3 V4.3.4.∞ V4.6.∞ V3.3.3.3.∞ V(3.∞)3 V3.3.3.3.3.∞

高維類比编辑

 
三階七邊形鑲嵌蜂巢體的龐加萊模型,每個洞都是一個正七邊形鑲嵌[6]

偽多面體(pseudohedron)是偽多邊形在三維空間的類比,即在三維非緊雙曲空間中的無限面體,又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌,由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中,即幾何中心跑到龐加萊模型外,其外接球為三維雙曲極限球。

偽多胞體(pseudotope)則為非緊雙曲鑲嵌在四維或更高維度類比,例如四階一百二十胞體堆砌英语Order-4 120-cell honeycomb[7]

但嚴格來說,偽多胞形(pseudotope)只會在二維雙曲空間討論,由於二維的考克斯特群表達到無窮之後仍為平面,因此只能用雙曲徑社的方式以虛數表達雙曲幾何圖形。

赫爾曼莫金記號 軌道流形英语Orbifold 考克斯特 考克斯特圖英语Coxeter diagram
有限
Zn n n• [n]+     n
Dn nm *n• [n]     2n
仿射
Z ∞• [∞]+    
Dih m *∞• [∞]    
雙曲
Z [πi/λ]+    
Dih [πi/λ]    

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Norman Johnson, Geometries and symmetries, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141
  2. ^ HSKR, K. L. Dr. cjl. 1989. PhD Thesis. SIMON FRASER UNIVERSITY.
  3. ^ 台北盆地聚落發展之空間分析 國立台灣大學地理環境資源學系暨研究所 2005-10-31
  4. ^ 中學地理科常用英漢辭彙 页面存档备份,存于互联网档案馆 香港教育局
  5. ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p.296, Table II: Regular honeycombs
  6. ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb 页面存档备份,存于互联网档案馆 (2014/08/01)
  7. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213)