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傅里叶正弦、余弦变换

数学中,傅里叶正弦和余弦变换傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长,如信号处理概率统计

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定义编辑

方程 f (t)傅里叶正弦变换,有时也被表示为  or  ,有

 
 

如果 t 代表时间,那么 ω 就是单位时间周期内的频率,但抽象来说,它们可以是互相关联的任何一对变量。

这个变换必须是频率的奇函数,即对所有的 ω

 

傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子,因子 2 出现因为对正弦函数有 L2 norm of  

方程 f (t)傅里叶余弦变换,有时也被表示为  ,有

 

这个变换必须是频率的偶函数,即对所有的 ω

 

一些著者[1]仅定义了 t偶函数的余弦变换,在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数,所以可以使用更简单的公式:

 

相似地,如果 f奇函数,那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为:

 

傅里叶逆变换编辑

按照通常的假设,原始方程 f 可以从变换形式中复原。即 f 和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设,参见傅里叶逆变换

逆公式是[2]

 

它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2,那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。

用余弦的变换公式,可以再表示为:

 

这里 f (x + 0) 表示 fx 从上方趋近于零的一边极限。且 f (x − 0) 表示 fx 从下方趋近于零一边的极限。

如果原始方程 f 是偶函数,那么正弦变换就为零;如果 f 是奇函数,那么余弦变换就为零。在任何一种可能中,逆变换方程都可以化简。

与複指数的关系编辑

如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是

 

相关条目编辑

参考编辑

  • Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211
  1. ^ Mary L. Boas,在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》,第二版,John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
  2. ^ Poincaré, Henri. Theorie analytique de la propagation de chaleur. Paris: G. Carré. 1895: pp. 108ff.