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克萊姆法則(英語:Cramer's rule),又稱為克拉瑪公式,是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,所以在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這定理在理論性方面十分有用。

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

基本方程编辑

一個線性方程組可以用矩陣向量的方程來表示:

 

其中的 是一个 方塊矩陣,而向量   是一个长度为n列向量  也一样。

克莱姆法则说明:如果 是一个可逆矩陣  ),那么方程(1)有解  ,其中

  (1)

當中 是被列向量 取代了 的第i列的列向量后得到的矩阵。為了方便,我們通常使用 來表示 ,用 來表示 。所以等式(1)可以寫成為:

 

抽象方程编辑

 為一個環, 就是一個包含 的系數的 矩陣。所以:

 

當中 就是 的行列式,以及 就是單位矩陣

證明概要编辑

对于 元线性方程组  

把系数矩阵   表示成列向量的形式

 

由于系数矩阵可逆,故方程组一定有解 .

 ,即

 

考虑 的值,利用行列式線性和交替性質,有

 

于是

 

例子编辑

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知:

 
 

使用矩陣來表示時就是:

 

当矩阵可逆时,x和y可以從克萊姆法則中得出:

 
以及
 

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知:

 
 
 

當中的矩陣表示為:

 

当矩阵可逆时,可以求出x、y和z:

 、       以及    

微分幾何上的應用编辑

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式  。其中的u和v是需要考虑的变量,并且它们互不相关。我們可定義  

找出一條等式適合 是克萊姆法則的簡單應用。

首先,我們要計算    的導數:

 
 
 
 

  代入  ,可得出:

 
 

因為  互不相关,所以  的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:

 
 
 
 

現在用克萊姆法則就可得到:

 

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

 

用類似的方法就可以找到  以及 

基本代數上的應用编辑

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用编辑

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

外部链接编辑