克莱布希-高登系数

(重定向自克里布希-戈登係數

量子力学中,克莱布希-高登系数Clebsch–Gordan coefficients,简称 CG 系数,又称向量耦合系数等)是两个角动量耦合时,它们的本征函数的组合系数。

从数学的角度,克莱布希-高登系数出现在紧李群的表示论中,它研究的是两个不可约表示张量积如何分解成不可约表示的直和

克莱布希-高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什保罗·哥尔丹而得名。

记号编辑

在本文中,在不引起混淆的情况下,省略算符上的尖号。用粗体来表示向量(算符),用非粗体表示标量(算符)。

角动量耦合的一般理论编辑

本文的讨论从角动量的一般量子理论出发,以角动量算符的对易关系为基础,不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示[1]。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。 给定了 j 之后,本征函数组

 

张开成一个 2j+1 维的函数空间。

现在给定两个量子数 j1j2,则其本征函数组张开的空间分别有 2j1+1 维 与 2j2+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积

 

显然有

 

下面为简便起见,定义新的记号

 

一般地,若 f, g 分别是这两个空间里的算符,则在积空间上可以定义下列算符:

 

另一方面,定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中,只需取

 

其中 1 表示恒等操作(算符)。

在这样的定义下,两个角动量算符的的耦合表达为:

 
 

容易验证这样定义的 j 满足角动量的基本对易关系,因此是一个角动量算符,称为总角动量算符。

根据角动量的一般理论,总角动量算符也有自己的本征函数组,它可以用积空间里的基来表示

 

这里的线性组合系数

 

就被称为克莱布希-高登系数。在正交归一性的要求下,克莱布希-高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortle 惯例,使所有克莱布希-高登系数为实数。

耦合表象中量子数的取值编辑

 

上式两边取矩阵元,就得到:

 

故在克莱布希-高登系数的表达式中可以省略 m 的值。

下面考虑耦合表象中量子数 j 的取值,根据上式,有

 

j 最大的可能取值是 j1j2 的和,且它只出现一次。此时

 

考虑下一个可能的 j,显然第二大的 m=mmax-1,它可以通过两种方式组合而来,

 

它们张开成一个二维的空间,但 j=jmax 的本征函数组里面已经出现过 m=jmax-1,这里占用了一维,因此下一个可能的 j 只能是 jmax-1,它同样只出现一次。

这样分析下去,就会知道 j 的所有可能取值只能是

 

其中每个 j 恰好出现一次,且

 

但积空间的维数应该等于两个空间维数之积,即

 

故有

 

一个例子编辑

  为例[2]

对任意一个算符  ,本节中的矩阵元表示

 

的值。

 
 
 

计算最后一个矩阵的本征值和本征向量,得到

 

于是可知克莱布希-高登系数为:

m=1 j=



 
1
1/2, 1/2  
m=0 j=



m1, m2=
1 0
1/2, -1/2    
-1/2, 1/2    
m=-1 j=



m1, m2=
1
-1/2, -1/2  

从上面的例子可以看到,对于一般的情况,用矩阵来求克莱布希-高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算,更多的情况是直接查表。

Racah 表达式编辑

Racah 用代数方法得出了克莱布希-高登系数的有限级数表达式[3]

 

其中, ν 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。

对称性编辑

克莱布希-高登系数有下列的对称性[1]

 

与维格纳 3-j 符号的关系编辑

克莱布希-高登系数与维格纳 3-j 符号有下列关系[4]

 

后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分[4]

 

由球谐函数的正交归一性,上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。

参考编辑

  1. ^ 1.0 1.1 曾谨言. 10. 量子力学卷 I (第四版). 科学出版社. [2011]. ISBN 9787030181398. 
  2. ^ William O. Straub. EFFICIENT COMPUTATION OF CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS (PDF). [2014-09-09]. (原始内容存档 (PDF)于2019-08-19). 
  3. ^ Giulio Racah. Theory of Complex Spectra. II. Phys. Rev.: 438. doi:10.1103/PhysRev.62.438. 
  4. ^ 4.0 4.1 Maximon, Leonard C., 3j,6j,9j Symbols, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 

参见编辑

外部链接编辑