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交換代數中,一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依學數家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。

定義编辑

設交換環   中有  素理想  ,使得

 

則稱之為長度為  素理想鏈,一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。 克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度,這也等於是   中素理想的最大可能高度

根據定義,   的維數與對素理想的局部化有下述關係

 

其中    的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想 。當  鏈環時,對各極大理想的局部化皆有相同維數;代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質编辑

例如在環   中可考慮以下的素理想鏈

 

因此  ;事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質:

  • 零維的整環
  • 離散賦值環戴德金整環是一維的。
  •  ,則  ;當  諾特環時則  
  •  ,則  
  •   -代數,同時又是有限生成的  -模,則  

與幾何的關係编辑

代數幾何中,一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界;對於仿射概形  ,則回歸到  

  為域,  是有限型  -整代數,這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理,存在非負整數    中彼此代數獨立的元素   ,使得   是有限生成之  -模,因此  。從幾何觀點看,  此時是   的有限分歧覆蓋,因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀:

  1.  
  2.   是分歧覆蓋,則  

特別是當   時,代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻编辑