內射模

內射模(英語:injective module),在模論中,是具有與有理數 (視為 -)相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念,由Reinhold Baer於1940年引進。

定義编辑

一個   上的左模   若滿足以下等價條件,則稱之為內射模

  •   是另一個左  -模   的子模,則存在另一個子模   使得  
  •   是左  -模的單射,  為同態,則存在同態   使得  。圖示如下:
 
  • 任何短正合序列   都分裂。
  • 函子  正合函子

右模的定義類此。抽象地說,內射模乃是模範疇中的內射對象

例子编辑

  • 零模是內射模的平凡例子。
  •  ,則任何  -模(即  -向量空間)都是內射模,此點可由的性質證明。
  •  緊群(例如有限群),  為特徵為零的。根據緊群的表示理論,可知任何表示的子表示都是其直和項;若翻譯為模的語言,即是:群代數   上的所有模都是內射模。
  •   為域   上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子   給出有限生成左  -模與有限生成右  -模的對偶性。因此,有限生成的左  -模在同構的意義下皆可寫作  ,其中   是某個有限生成的投射右  -模。
  • 在一般的環上也存在充足的(在內射分解的意義下)投射模,以下將述及相關理論。初步的例子包括:  對加法形成內射  -模。群   )是內射  -模,而非內射  -模。

性質编辑

內射模的直積(包括無窮直積)仍是內射模,內射模的有限直和仍為內射模。一般而言,內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果,通常稱作 Baer 判準:一個左  -模   是內射模若且唯若定義在任一理想   上的態射   都能延拓到整個   上。

利用此判準,可證明主理想域   上的模   是內射模若且唯若   可除,即:對任何  ,存在   使得  ,由此可證   是內射  -模,向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬  :它是  -模範疇中的內射上生成元,換言之,這是內射模,而且任何  -模皆可嵌入某個   中,其中   是夠大的基數。由此可知任何  -模皆可嵌入某個內射  -模。此性質對任意環   上的左模都成立,要點在於利用   的特性構造左  -模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的內射包(基本上是包含一個模的最小內射模)。任意模   都有內射分解,這是形式如下的正合序列

 

其中每個   都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度(基本上是內射分解的最短長度,可能是無限的)及導函子

不可分解內射模的自同態環是局部環

文獻编辑

  • F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

参见编辑