公式 (数理逻辑)

邏輯學概念

数理逻辑中,公式是表达命题的形式语法对象,除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑,但有如下一个非常典型的定义(特定于一阶逻辑):公式是相对于特定语言而定义的;就是说,一组常量符号函数符号关系符号,这里的每个函数和关系符号都带有一个元数(arity)来指示它所接受的参数的数目。

定义编辑

项的递归定义编辑

  • 一个变量

  • 一个常量符号

  •  ,这里的 是一个n-元函数符号,而 是项。

公式的递归定义编辑

  •  ,这里的  是项

  •  ,这里的 是一个n-元关系符号,而 是项

  •  ,这里的 是公式

  •  ,这里的  是公式

  •  ,这里的 是一个变量而 是一个公式。

解释编辑

公式并不一定具备封闭形式(即不一定没有省略号)。
  • 阶乘“!”、求和式“∑”和求积式“∏”等都隐含省略号。
  • 排列数和组合数等都含有省略号。
按照通项公式去计算有时比按照定义去计算更加复杂。
  • 斐波那契数列公式:
 

但是相比较按照这个公式计算 ,还是按照递归定义: 进行计算更方便。


根据谓词逻辑的语义推导规则,语义应该具有一致性,就是对于一个命题逻辑语句集f,当且仅当至少存在这样一种解释i,f的一切元素在i之下都是真的,那么,f是语义一致的。在命题逻辑语义学内,一个赋值不能同时把真和假给予某个命题原子式。在命题逻辑语义学中,在同一解释下,一个集合不能既属于某个谓词的外延又不属于该谓词的外延。{现代西方哲学逻辑,复旦大学出版社235页}

原子公式编辑

参见编辑