理想的根

(重定向自冪零根

數學中的環論領域,一個理想是一個較大的理想,它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為雅各布森根冪零根,前者較後者為大。

交換環的冪零根编辑

 交換環  為其理想。該理想的冪零根  (或  )定義為

 

二項式定理可知   也是一個理想,並包含  。當取   時,相應的根即是冪零元素的集合,也稱作環的冪零根,有時記為  。記   為商同態,則

 

利用局部化技巧,也可證明

 

為具體起見,考慮較簡單的例子  。每個非零理想都可寫成  ,此處   取遍所有素數  則是非負整數。易證

 

雅各布森根编辑

  為環(未必交換),其雅各布森根   定義為所有單右  -模的零化子之交。對於雙邊理想  ,設   為商同態,定義  

雅各布森根還有諸種等價的定義。當   交換時,有下述簡單的性質:

 

換言之,此即所有包含  極大理想之交。由此立見  

文獻编辑

  • David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.