击中时 也称为命中时 、首中时 ，是数学 中随机过程 研究裡出现的一个概念，表示一个随机过程首次接触到状态空间 的某个子集 的时间。在特定的例子中，也会被称为离时 （脱离时间 ）或回时 （首次回归时间 ）。
布朗运动过程的三个路径，接触到上限则结束
设
T
{\displaystyle T}
指标集 ，比如说是自然数 的集合
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
实数 集
R
+
=
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,+\infty )}
T
{\displaystyle T}
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
时间 的方式（离散或连续型）。给定一个概率空间
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
S
{\displaystyle S}
X
:
Ω
×
T
→
S
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X:\,\,\Omega \times T\rightarrow S=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
A
{\displaystyle A}
S
{\displaystyle S}
可测 子集。那么，随机过程
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
A
{\displaystyle A}
随机变量 [1] :155 ：
τ
A
Ω
⟶
T
¯
{\displaystyle \tau _{A}\Omega \longrightarrow {\overline {T}}}
τ
A
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∈
A
}
.
{\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A\}.}
同样，可以定义
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
A
{\displaystyle A}
ϵ
A
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∉
A
}
=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∈
A
c
}
=
τ
A
c
.
{\displaystyle \epsilon _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\notin A\}=\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A^{c}\}=\tau _{A^{c}}.}
可以看出离时实际上也是击中时的一种，表示首次接触到要研究的子集的补集 的时间。很多时候，离时也会记为
τ
A
{\displaystyle \tau _{A}}
另外一种击中时是
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
{
X
0
(
ω
)
}
{\displaystyle \{X_{0}(\omega )\}}
τ
0
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
=
X
0
(
ω
)
}
.
{\displaystyle \tau _{0}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )\}.}
设
(
W
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
布朗运动过程 ，则对于任意（实数的）波莱尔 可测子集
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
τ
A
W
{\displaystyle \tau _{A}^{W}}
τ
A
W
{\displaystyle \tau _{A}^{W}}
如果定义标准布朗运动
(
W
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
A
r
=
(
−
r
,
r
)
{\displaystyle A_{r}=(-r,r)}
ϵ
r
W
=
τ
A
r
c
W
{\displaystyle \epsilon _{r}^{W}=\tau _{A_{r}^{c}}^{W}}
数学期望 是：
E
(
ϵ
r
W
)
=
r
2
{\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{r}^{W})=r^{2}}
方差 是
Var
(
ϵ
r
W
)
=
2
3
r
4
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{r}^{W})={\frac {2}{3}}r^{4}.}
首发定理
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对于给定的概率空间，随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
début ）。首发定理说明，如果随机过程是循序可测 的，那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续适应过程 和右连续适应过程。首发定理的证明用到了解析集 的性质。首发定理需要概率空间是完全概率空间 。
首发定理的逆定理指出，所有定义在某个实数时间轴的滤波 上的停时，都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地，存在一个适应的不增随机过程，其路径几乎总是左极限右连续，并且取值为0或1，使得子集
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
参考来源
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^ （英文） Rick Durrett. Probability: theory and examples ,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390
