函數極限

在數學中，函數極限是微積分學和數學分析的一個基本概念。它描述函數值在接近某一給定的自變量時的特徵。

$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函數的圖形，請注意在x=0處取不到值。因為被零除，所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數 (sin x)/x 的定義域中不包括“0”, 但當 x 無限接近於零時, (sin x)/x 就無限接近於一. 這就是說, x 接近於零時，(sin x)/x 的極限是 1。

不嚴格地講，函數$f$對於每個給定的在定義域內自變量，都會有一個對應的因變量$f(x)$。聲稱在自變量為$p$時，函數極限為$L$則表明：當自變量$x$的值無限接近於$p$時，因變量$f(x)$的值便無限接近於$L$。另一方面，如果存在十分接近於$p$的自變量所對應的因變量的值與$L$的值相差較大，則表示函數極限不存在。

極限的概念在現代微積分領域用途良多。比如，連續性的定義。除此之外，它還被用於導數的定義。

定義

自變量趨於有限值時函數的極限

設函數$f(x)$在點$x_{0}$的某一去心鄰域內有定義。 如果存在常數$A$，對於任意給定的$\epsilon >0$，必存在$\delta >0$，使得當$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$時，有$\left|f(x)-A\right|<\epsilon$，則稱常數$A$為函數$f(x)$當$x\rightarrow x_{0}$時的極限，記作$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A$（$x\rightarrow x_{0}$）。

只需把$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$改為$x_{0}-\delta <x<x_{0}$，即可得到左極限的定義，記為$\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A$（$x\rightarrow x_{0}^{-}$）；類似地，只需把$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$改為$x_{0}<x<x_{0}+\delta$，即可得到右極限的定義，記為 $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A$（$x\rightarrow x_{0}^{+}$）。

容易證明，函數$f(x)$當$x\rightarrow x_{0}$時極限存在的充分必要條件是左極限和右極限各自存在且相等。

自變量趨於無窮大時函數的極限

設函數$f(x)$當$\left|x\right|$大於某一正數時有定義。 如果存在常數$A$，對於任意給定的$\epsilon >0$，必存在$X>0$，使得當$\left|x\right|>X$時，有$\left|f(x)-A\right|<\epsilon$，則稱常數$A$為函數$f(x)$當$x\rightarrow \infty$時的極限，記作$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A$（$x\rightarrow \infty$）。

只需把$\left|x\right|>X$改為$x>X$，即可得到$\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=A$的定義；類似地，只需把$\left|x\right|>X$改為$x<-X$，即可得到$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=A$的定義。

常用公式

有理函數

以下公式中，$n>0,a>1$。

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .$

無理函數

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

三角函數

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0$

指數函數

• $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1$

對數函數

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty$