函數極限

微积分的基本概念之一

數學中,函數極限微積分學和數學分析的一個基本概念。它描述函數值在接近某一給定的自變量時的特徵。

1 0.841471...
0.1 0.998334...
0.01 0.999983...
上表所示函數的圖形,請注意在x=0處取不到值。因為被零除,所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數 (sin x)/x 的定義域中不包括“0”, 但當 x 無限接近於零時, (sin x)/x 就無限接近於一. 這就是說, x 接近於零時,(sin x)/x 的極限是 1。

不嚴格地講,函數對於每個給定的在定義域內自變量,都會有一個對應的因變量。聲稱在自變量為時,函數極限為則表明:當自變量的值無限接近於時,因變量的值便無限接近於。另一方面,如果存在十分接近於的自變量所對應的因變量的值與的值相差較大,則表示函數極限不存在。[1]

極限的概念在現代微積分領域用途良多。比如,連續性的定義。除此之外,它還被用於導數的定義。

定義编辑

自變量趨於有限值時函數的極限编辑

設函數 在點 的某一去心鄰域內有定義。 如果存在常數 ,對於任意給定的 ,必存在 ,使得當 時,有 ,則稱常數 為函數  時的極限,記作   )。

只需把 改為 ,即可得到左極限的定義,記為   );類似地,只需把 改為 ,即可得到右極限的定義,記為    )。

容易證明,函數  時極限存在的充分必要條件是左極限和右極限各自存在且相等。

自變量趨於無窮大時函數的極限编辑

設函數  大於某一正數時有定義。 如果存在常數 ,對於任意給定的 ,必存在 ,使得當 時,有 ,則稱常數 為函數  時的極限,記作   )。

只需把 改為 ,即可得到 的定義;類似地,只需把 改為 ,即可得到 的定義。

常用公式编辑

有理函數编辑

以下公式中, 

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無理函數编辑

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三角函數编辑

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指數函數编辑

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對數函數编辑

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參考编辑

  1. ^ 原文如下:On the other hand, if some inputs very close to p are taken to outputs that stay a fixed distance apart, we say the limit does not exist.