函數極限

微积分的基本概念之一

數學中,函數極限(英語:Limit of a function)是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 的極限為 ,直觀上意為當 無限接近 時, 便無限接近

1 0.841471...
0.1 0.998334...
0.01 0.999983...
上表所示函數的圖形,請注意在x=0處取不到值。因為被零除,所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數 (sin x)/x 的定義域中不包括“0”, 但當 x 無限接近於零時, (sin x)/x 就無限接近於 1,換句話說, x 接近於零時,(sin x)/x 的極限是 1。

正式定義编辑

動機编辑

如果取   為"    差距的上限";類似地,取   為"    差距的上限",那根據直觀,可以將函數極限定義為:

若對所有的   ,存在  ,使得對所有的   ,只要   就有  

其中   是要確保   越來越小時,   也會越來越小;   是為了凸顯   是逼近而非等於   ,但對應的   是可以等於   的。

但對於实函数   逼近   時,考慮到   的部分;在   下是沒有這樣的   使得    的,但數值上   的確在   時很靠近   ,也就是   的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以   的變化去限制   的變化通常是很困難的,但如果反過來從   出發,去找怎樣的   會讓    的差距小於   ,也就是從"若對所有的   存在   "出發的話,顯然上面  的例子只要取   即可;而且在這個定義被滿足的情況下,若進一步取    的最小值為    差距的上限,還是會有   ,這樣就可以用   控制   的變化,而滿足"   趨近於    趨近於   "的直觀想法。

但實際上無法確保對所有  ,都有   使得   ,所以定義函數極限之前必須要求   极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在   使得    都有定義,也就是存在  去心鄰域使   都有定義,這樣的話   會自動成為   的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限编辑

 实函数   的極限點且   ,若"對所有的 ,存在 ,使得對所有的   只要   就有   ",或以正式的邏輯符號表述為

 

則以   表示,稱   為實函數    的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限编辑

由於"無窮大"不能直接定義成定義域   的極限點,可以退而求其次假設"對所有的   存在   使得   "。也就是直觀上可以用定義域   裡的點去逼近"無窮大"。那在這種條件下, ,且若"對所有  ,存在  ,使得對所有的   只要   時,有  ",或以正式的邏輯符號表述為

 

則稱   為實函數  正無窮大  )的極限,記作   類似的,若假設"對所有的   存在   使得   ",那在這種條件下, ,且若"對所有  ,存在  ,使得對所有的   只要   時,有  ",或以正式的邏輯符號表述為

 

則稱   為實函數  負無窮大(  的極限,記作 

制限極限编辑

直觀上來講,從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限,為了把這個概念推廣,需要函數限制的極限(也就是縮小定義域後的極限):

定理

   同時為   极限点,則

 

等價於

  

上述定理的證明只須注意到   也必為   的極限點,然後把函數極限的定義展開,考慮到   ,還有對    的和   取的   ,那只要取     的最小值,對所有   就有   ;反過來由原函數   推出    的狀況是非常顯然的。

左右極限编辑

若取

 
 

如果假設   同時為   极限点,那    顯然符合上面定理的要求的,而這時

 

這個表達式會被別稱為"   是實函數   右極限",也可以用   表示。

類似的

 

這個表達式會被別稱為"   是實函數   左極限",也可以用   表示。

常用公式编辑

有理函數编辑

以下公式中, 

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無理函數编辑

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三角函數编辑

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指數函數编辑

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對數函數编辑

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參考编辑