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抽象代數中,分式環分式域是包含一個整環的最小,典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環,此時通常稱作全分式環

分式環有時也被稱為商域,但此用語易與商環混淆。

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構造编辑

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設   為一個整環,而  

在集合   上定義下述等價關係  

 

等價類   可以想成「分式」  ,上述等價關係無非是推廣有理數的通分;藉此類比,在商集   上定義加法與乘法為:

 
 

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態  ,定義為  ;這是一個單射。於是可定義分式環  ,再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上,我們常逕將   裡的元素寫作分式  

泛性質编辑

整環   的分式環   及其自然環同態   滿足以下的泛性質

對任何環   及環同態  ,若   中的元素在   下的像皆可逆,則存在唯一的環同態  ,使得     的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明:任何一組資料   若使得   中的元素在   下的像皆可逆,且滿足上述泛性質,則   必與   同構。

例子编辑

推廣编辑

對於一般的交換環  (容許有零因子 ),分式環是一種退而求其次的建構:我們想找使   為單射的「最大」局部化,詳述如下:

   中的非零因子所成子集,它是個積性子集,因此可對之作局部化。令  ,此時   常被稱作  全分式環