# 分數傅立葉變換

## 定義

${\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt}$

${\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt}$

${\displaystyle \phi =0.5a\pi }$ , ${\displaystyle a}$  為實數。

${\displaystyle a=1}$  時 (亦即 ${\displaystyle \phi =0.5\pi }$  )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換

## 表示法

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(f))}$  ，則可推廣為${\displaystyle {\mathcal {F}}^{(n+1)}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{n}(f))}$ ;依此類推，${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}(F)}$ 表示${\displaystyle F(\omega )}$ ${\displaystyle n}$ 次逆變換${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(F)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)={\mathcal {F}}^{2\alpha /\pi }(f)}$

${\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}}$ 是一個整數時則代表傅立葉轉換做${\displaystyle n}$ 次。

${\displaystyle n=1}$ 時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度

${\displaystyle n=2}$ 時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[x(t)]=x(-t)}$

${\displaystyle n=3}$ 時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度

${\displaystyle n=4}$ 時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度,${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[x(t)]=x(t)}$

## 性質

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)dt}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }(f)={\mathcal {F}}_{\alpha }({\mathcal {F}}_{\beta }(f))={\mathcal {F}}_{\beta }({\mathcal {F}}_{\alpha }(f))}$

• 線性(Linearity)

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}$

• 整數傅立葉性質(Integer Orders)

${\displaystyle \alpha ={\frac {k\pi }{2}}}$ ,其中${\displaystyle k}$ 為一整數則相當於做${\displaystyle k}$ 次傅立葉轉換；

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}}$ 時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ，

${\displaystyle {\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}}$ 時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。

${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \pi }$ 的整數倍，則餘切函數餘割函數不會收斂。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}$

• 反轉性質(Inverse)

${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}$

• 交換性(Commutativity)

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}$

• 結合律(Associativity)

${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}$

• 帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem)

${\displaystyle \int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du}$

## 定理

${\displaystyle x(t)}$  的分數傅立葉轉換 (${\displaystyle \phi }$ )的時頻分布，等同於 ${\displaystyle x(t)}$  的時頻分布(維格納分布,加伯轉換)順時針旋轉角度 ${\displaystyle \phi }$ ，用數學式子表示如下:

### 維格納分佈(Wigner distribution function)

(a) ${\displaystyle W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle x(t)}$  的維格納分布

(b) ${\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)}$ ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$  的維格納分布

(c) ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$ ${\displaystyle x(t)}$  的分數傅立葉轉換

，則${\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)=W_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))}$

### 加伯轉換(Gabor transform)

(a) ${\displaystyle G_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle x(t)}$  的加伯轉換

(b) ${\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)}$ ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$  的加伯轉換

(c) ${\displaystyle X_{\phi }(u)}$ ${\displaystyle x(t)}$  的分數傅立葉轉換

，則${\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)=G_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))}$

## 應用

### (一)時域

${\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)}$

${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$  用數學表示分別如下:

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0
${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}8
${\displaystyle h(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-2

${\displaystyle x(t)}$  乘上 ${\displaystyle h(t)}$  時，${\displaystyle x_{1}(t)}$ 這個信號會被保留，${\displaystyle x_{2}(t)}$ 這個信號就被濾掉了。

### (二)頻域

${\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)}$
${\displaystyle x_{1}(t)=sin(4\pi t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)=cos(10\pi t)}$

${\displaystyle X(f)=X_{1}(f)+X_{2}(f)}$
${\displaystyle X_{1}(f)={\frac {\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}}$
${\displaystyle X_{2}(f)={\frac {\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}}$

${\displaystyle X(f)}$ 可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。

#### 例子

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-3

${\displaystyle X(f)}$  乘上 ${\displaystyle H(f)}$  時，${\displaystyle X_{1}(f)}$  會被保留，${\displaystyle X_{2}(f)}$  就被濾掉了。

### (三)時頻域分解

${\displaystyle x(t)=e^{j0.5(t-4)^{2}}}$  (啁啾雜訊) + 三角波信號。

#### 例子一

Cutoff line 的參數包含了 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle \phi }$  是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 ${\displaystyle u_{0}}$  則是cutoff line 距離原點的距離。

${\displaystyle x_{o}(t)=X_{-\phi }[{X_{\phi }(x_{i}(t))H(u)}]}$
${\displaystyle H(u)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}uu_{0}{\mbox{ }}\end{cases}}}$

(a) 發射訊號的時域圖
(b) 接收訊號的時域圖
(c) 發射訊號的韋格納分布
(d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來
(e) 發射訊號的加伯轉換
(f) 接收訊號的加伯轉換
(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換
(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
(j) 對(i)做分數傅立葉轉換
(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻
(l) 經過(k)濾波器以後
(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號
(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%

(a) 發射訊號

(b) 接收訊號

(c) 接收訊號的韋格納分

(d) 接收訊號的加伯轉換

(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。

(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%

## 參考文獻

• N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
• V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
• Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
• Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
• D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
• Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013