分離態射

在數學中，分離態射是概形間一類具良好幾何性質的態射，由此可定義分離概形。在亞歷山大·格羅滕迪克的著作中，原將一般的概形稱作預概形（préschéma），而將分離概形稱作概形；1967年左右改稱現名。

定義编辑

設 $X,S$ 為概形。一個態射 $f:X\rightarrow S$ 被稱作分離態射，若且唯若它所給出的對角映射 $\Delta :X\rightarrow X\times _{S}X$ 是閉浸入。

由此可定義 $S$ 上的分離概形。若取 $S$ 為終對象 $\mathrm {Spec} \mathbb {Z}$ ，可定義絕對的分離概形。

性質探討编辑

從分離性可推出：設 $X\rightarrow S$ 分離，對任何 $\mathbf {Sch} _{/S}$ 裡的態射 $f,g:Y\rightarrow X$ ，若 $f$ 與 $g$ 在一個稠密開集上相等，則 $f=g$ 。準此，可視分離概形為豪斯多夫空間在概形論裡的推廣。

根據定義，分離性僅與拓撲有關： $f:X\rightarrow S$ 分離若且唯若 $f_{\mathrm {red} }:X_{\mathrm {red} }\rightarrow Y_{\mathrm {red} }$ 分離。群概形都是分離的（考慮映射 $(x,y)\mapsto x^{-1}y$ ）。此外；仿射概形皆屬分離概形。

另一個有用的性質是：若 $S$ 是仿射概形， $X$ 是 $S$ 上的分離概形，且 $U,V\subset X$ 是仿射開集，則 $U\cap V$ 亦是仿射開集。

下述常見態射都是分離的：

概形間的單射（包括開浸入與閉浸入）都是分離態射
分離態射的合成仍是分離態射
分離態射換底後仍是分離態射
若 $f:X\rightarrow Y,g:X'\rightarrow Y'$ 是分離態射，其積 $f\times _{S}g:X\times _{S}X'\rightarrow Y\times _{S}Y'$ 亦然。
若 $g\circ f$ 是分離態射，則 $f$ 是分離態射。
射影態射是分離態射

於是乎擬射影態射都是分離的，這涵蓋了經典代數幾何裡的所有對象。但在概形論中，我們可透過黏合造出非分離概形；研究函子的可表性時（特別是模空間的研究）亦須仔細處理分離性。

賦值判準编辑

分離性與豪斯多夫性質的類比給出另一種刻劃。設所論概形都是局部諾特概形。僅須處理 $Y$ 是一維時的情形，透過一些代數的論證，可化約到 $Y=\mathrm {Spec} (R)$ ，其中 $R$ 是個離散賦值環之情形；此時態射的唯一延拓性譯為下述陳述：

設

X,Y

都是局部諾特概形，

f:X\rightarrow Y

是局部有限型態射，下述陳述等價：

$f$ 是分離態射。
對任何形如 $Y':=\mathrm {Spec} (R)$ 的 $Y$ -概形，其中 $R$ 是離散賦值環，設 $K$ 為 $R$ 的分式環；若兩個 $Y$ -態射 $f,g:Y'\rightarrow X$ 拉回至 $\mathrm {Spec} (K)$ 相等，則有 $f=g$ 。