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切薩羅求和(英語:Cesàro summation)是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅(Ernesto Cesàro)發明,是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α,則其切薩羅和存在,其值為 α,而發散級數也可以用切薩羅求和的方式,計算出切薩羅和。

定義编辑

令 {an} 為一 數列,且令

 

為數列前 k 項的部份和

 .

若以下的條件成立,則此數列 {an} 的切薩羅和存在,且其值為α。

 .

格蘭迪級數的例子编辑

an = (-1)n+1, n ≥ 1。因此{an} 為以下的數列:

 

其部份和組成的數列 {sn} 為

 

此數列為格蘭迪級數,不會收斂。

而數列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各項分別為

 

n趨近於無限大,切薩羅和為如下極限:

 

因此,數列 {an} 的切薩羅和為 1/2。

推廣编辑

切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和,表示為(C, n),其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和,而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

n>1時的(C, n) 如下所述: 對於級數Σan, 定義

 

(上面的指数不表示指数)且定義 Enα 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 Anα。 則 Σan 的 (C, α) 和則為

 

若以上數值存在。[1]

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

相關條目编辑

註解编辑

  1. ^ Shawyer and Watson pp.16-17

參考文獻编辑

Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.