# 加法

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• 交换律：左右两个加数的顺序可以随意调换；
• 结合律：多个数相加，顺序也可以随意调换；

## 符号表示与术语

${\displaystyle {{1}+{1}}=2}$ 11 等于 2
${\displaystyle {{2}+{2}}=4}$ 22 等于 4
${\displaystyle {{1}+{2}}=3}$ 12 等于 3
${\displaystyle {{{5}+{4}}+{2}}=11}$ （见结合律
${\displaystyle {{{{3}+{3}}+{3}}+{3}}=12}$ （见乘法

${\displaystyle 3{1 \over 2}=3+{1 \over 2}=3.5}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55}$

The Art of Nombryng（15 世纪）是最早的英语算术书之一，此图为重绘的插图。

sum 和 summand 源自拉丁语名词 summa（最高，顶端）和相关联的动词 summare。这不仅仅是因为两个正数的和比两个加数都要大，还是因为古希腊古罗马人在做加法时，通常将结果写在加数的上面，因此和字面上就比加数要“高”。现代通常将结果写在加数的下面。最早使用 adderesummare 的古罗马作家包括维特鲁威弗朗提努斯波爱修斯运用了其他几个与加法运算有关的术语。后来的中古英语术语 adden 和 adding 是由杰弗里·乔叟普及化的。

## 性质

### 结合律

${\displaystyle (1+2)+3=3+3=6=1+5=1+(2+3)}$

## 计算加法

### 学习

#### 加法表

 1 + 0 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 1 + 3 = 4 1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 1 + 6 = 7 1 + 7 = 8 1 + 8 = 9 1 + 9 = 10 1 + 10 = 11
 2 + 0 = 2 2 + 1 = 3 2 + 2 = 4 2 + 3 = 5 2 + 4 = 6 2 + 5 = 7 2 + 6 = 8 2 + 7 = 9 2 + 8 = 10 2 + 9 = 11 2 + 10 = 12
 3 + 0 = 3 3 + 1 = 4 3 + 2 = 5 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 3 + 5 = 8 3 + 6 = 9 3 + 7 = 10 3 + 8 = 11 3 + 9 = 12 3 + 10 = 13
 4 + 0 = 4 4 + 1 = 5 4 + 2 = 6 4 + 3 = 7 4 + 4 = 8 4 + 5 = 9 4 + 6 = 10 4 + 7 = 11 4 + 8 = 12 4 + 9 = 13 4 + 10 = 14
 5 + 0 = 5 5 + 1 = 6 5 + 2 = 7 5 + 3 = 8 5 + 4 = 9 5 + 5 = 10 5 + 6 = 11 5 + 7 = 12 5 + 8 = 13 5 + 9 = 14 5 + 10 = 15
 6 + 0 = 6 6 + 1 = 7 6 + 2 = 8 6 + 3 = 9 6 + 4 = 10 6 + 5 = 11 6 + 6 = 12 6 + 7 = 13 6 + 8 = 14 6 + 9 = 15 6 + 10 = 16
 7 + 0 = 7 7 + 1 = 8 7 + 2 = 9 7 + 3 = 10 7 + 4 = 11 7 + 5 = 12 7 + 6 = 13 7 + 7 = 14 7 + 8 = 15 7 + 9 = 16 7 + 10 = 17
 8 + 0 = 8 8 + 1 = 9 8 + 2 = 10 8 + 3 = 11 8 + 4 = 12 8 + 5 = 13 8 + 6 = 14 8 + 7 = 15 8 + 8 = 16 8 + 9 = 17 8 + 10 = 18
 9 + 0 = 9 9 + 1 = 10 9 + 2 = 11 9 + 3 = 12 9 + 4 = 13 9 + 5 = 14 9 + 6 = 15 9 + 7 = 16 9 + 8 = 17 9 + 9 = 18 9 + 10 = 19
 10 + 0 = 10 10 + 1 = 11 10 + 2 = 12 10 + 3 = 13 10 + 4 = 14 10 + 5 = 15 10 + 6 = 16 10 + 7 = 17 10 + 8 = 18 10 + 9 = 19 10 + 10 = 20

### 十进制系统

• 利用加法交换律（a + b = b + a）这一事实，需要掌握的算式数量从 100 个降低到 55 个。
• 加 1 或加 2 是一项基本工作，通过数数甚至直觉就能完成。
• 因为是加法单位元，所以加零是很简单的工作。然而，在算术的教授过程当中，一些学生认为加法是让加数增加的一个过程。实际问题可能能够帮助他们意识到零是一个“个例”
• 一个数加自身与两个两个的数数有关，与乘法有关，是许多其他理论的基础，通常更容易被学生掌握。
• 类似 6 + 7 = 13 的加法算式可以由“一个数加自身”的加法算式推导而来：6 + 6 = 12 再加 1，或 7 + 7 = 14 再减 1，都可以得到 13。
• 形为 5 + x10 + x 的加法算式通常较早被记忆，因此可以用来推导其他加法算式。例如，6 + 7 = 13 可以由 5 + 7 = 12 再加 1 推导而来。
• 一种较高级的方法是以 10 作为涉及 8 或 9 的加法的中间值。例如：8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14

#### 科学记数法

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$

### 其他进位制

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0，进位为 1（因为 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21)

5 + 5 → 0，进位为 1（因为 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)

7 + 9 → 6，进位为 1（因为 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101)

## 加法的定义

### 整数的加法

• 如果 a = 0，那么 a + b = b；如果 b = 0，那么 a + b = a。例如：(−2) + 0 = −2。特别地，0 + 0 = 0
• 如果 ab 都是正数，那么 a + b = |a| + |b|。例如：4 + 1 = 5
• 如果 ab 都是负数，那么 a + b = −(|a| + |b|)。例如：(−4) + (−1) = −(|−4| + |−1|) = −(4 + 1) = −5
• 如果 ab 一正一负，那么 a + b 的绝对值等于 a 的绝对值和 b 的绝对值之差（即 ||a| − |b||），符号与 ab 中绝对值较大的一项符号一致。例如：(−6) + 4 = −2，因为 −64 一正一负，所以 (−6) + 4 的绝对值等于它们的绝对值之差 |−6| − |4| = 2，又因为负数项 −6 的绝对值大于正数项 4 的绝对值，结果为负，因此结果为 −2

${\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)}$

### 有理数（分数）的加法

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={ad+bc \over bd}}$

${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$

### 复数的加法

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$

## 加法的扩展

### 抽象代数中的加法

#### 矩阵加法

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

## 相关运算

### 算术

${\displaystyle \mathrm {e} ^{a+b}=\mathrm {e} ^{a}\cdot \mathrm {e} ^{b}}$

### 最大值操作

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)}$

${\displaystyle \log _{k}(a+b)\approx \max(\log _{k}a,\log _{k}b)}$

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(\mathrm {e} ^{a/h}+\mathrm {e} ^{b/h})}$