勒壤得轉換

勒壤得轉換（英語：Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬裡·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

xy-圖展示出函數 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換。函數用紅色表示，在切點 $(x_{0},\ f(x_{0}))\,\!$ 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 $(0,\ -f^{*})\,\!$ ；這裏，$f^{*}\,\!$ 是勒壤得轉換 $f^{*}(p_{0})\,\!$ 的值，$p_{0}={\dot {f}}(x_{0})\,\!$ 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 ${\dot {f}}(x_{0})\,\!$ 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 $(0,\ -f^{*})\,\!$ 高，證明 $f^{*}\,\!$ 確實是極大值。

概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 $f(x)\,\!$ 改用一個新函數 $f^{\star }(p)\,\!$ 來表示，其變數 $p\,\!$ 是 $f(x)\,\!$ 的導數，$p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ 。而 $f^{\star }(p)\,\!$ 的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距

換句話說，從$(x,f(x))\,\!$ x 值到 y 值的函數，轉換成$(p,f^{\star }(p))\,\!$ f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函數 $f^{\star }(p)\,\!$ 為 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換；

用方程式表示

$f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ 。

此式子表示 $f^{\star }(p)=pu-f(u)$ 中的 u 對 $f^{\star }(p)$ 而言是個參數，且參數 u 會滿足 ${{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$ 的 $u$。即求算表達式關於變數 $u\,\!$ 的極值。

為方便討論，把討論限定在 $f(x)$為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 $p=f'(x_{0})$ 也就是斜率不變的狀況下，對每個$x_{0}$而言，所有與曲線$(u,f(u))$相交且斜率為$f'(x_{0})$的直線族為 $y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!$。若令$u=x_{0}$，該直線即是$f(x)$在$x_{0}$的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在$u=x_{0}$的情況下，$y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]$值是最小的，也就是說直線方程式中$[f'(x_{0})u-f(u)]$這部分是最大的，而正好 $f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!$，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 $f(x)\,\!$ 設定的函數關係可以用 $(x,\ y=f(x))\,\!$ 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

定義

给定区间I ⊂ ℝ和凸函数f : I → ℝ，则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ，

$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}$

其中$\sup$表示上确界，定义域$I^{*}$为

$I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.$

当f(x)为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝⁿ 上的凸函数f : X → ℝ：其变换f * : X* → ℝ为定义在

$X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}$

上的函数

$f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,$

其中$\langle x^{*},x\rangle$表示x*和 x的点积。

从导数的角度理解勒让德变换

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数$f$，其勒让德变换 $f^{*}$的一阶导数与$f$的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的$f^{*}$。

最大值式定義

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 $L(x,\ p)=px-f(x)\,\!$ 關於 $x\,\!$ 的最大值，設定 $L(x,\ p)\,\!$ 關於 $x\,\!$ 的偏導數為零：

${\frac {\partial }{\partial x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0\,\!$ 。

則

$p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\,\!$ 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 $L(x,\ p)\,\!$ 的二阶导数是負數：

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0\,\!$ ；

用方程式 (1) 來計算函數 $f\,\!$ 的反函數 $x=g(p)\,\!$ 。代入 $L(x,\ p)\,\!$ 方程式，即可以得到想要的形式：

$f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ 。

計算 $f(x)\,\!$ 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

1. 找出导函數 $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ ，
2. 計算导函數 $p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!$ 的反函數 $x=g(p)\,\!$ ，
3. 代入 $F(x)\,\!$ 方程式來求得新函數 $f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 $f^{\star }(p)\,\!$ ；其新自變數為 $p={\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}\,\!$ 。

反函數式定義

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 $f(x)\,\!$ 與 $f^{\star }(p)\,\!$ 的一階導數是互相的反函數；

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}\right)^{-1}(x)\,\!$ ，

或者，

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}(p)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f\right)^{-1}(p)\,\!$ ，

則 $f\,\!$ 與 $f^{\star }\,\!$ 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，

${\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=p\,\!$ ，

${\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!$ 。

思考下述運算：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}=x={\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!$ 。

所以，

$f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!$ ；

這裏，$x=g(p)\,\!$ 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

$f^{\star }(p)=f(x)-xp\,\!$ ，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

數學性質

以下討論，函數 $f\,\!$ 的勒壤得轉換皆標記為 $f^{\star }\,\!$ 。

標度性質

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

$f(x)=a\cdot g(x)\rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!$ ，

$f(x)=g(a\cdot x)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!$ ，

由此可知，一個 $r\,\!$ 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 $s\,\!$ 次齊次函數；這裏，

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1\,\!$ 。

平移性質

$f(x)=g(x)+b\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b\,\!$ ，

$f(x)=g(x+y)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y\,\!$ 。

反演性質

$f(x)=g^{-1}(x)\rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)\,\!$ 。

線形變換性質

讓 $A\,\!$ 成為一個從 $R^{n}\,\!$ 到 $R^{m}\,\!$ 的線形變換。對於任何定義域為 $R^{n}\,\!$ 的凸函數 $f\,\!$ ，必有

$\left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }\,\!$ ；

這裏，$A^{\star }\,\!$ 是 $A\,\!$ 的伴隨算子定義為

$\left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle \,\!$ 。

例子

例一

e^x（红色实线）与其勒让德变换（蓝色虚线）。

指数函数

$f(x)=e^{x}$

的勒让德变换为

$f^{*}(p)=p(\ln p-1)$，

因为它们的一阶导数 e^x与 ln p互为反函数。

應用

熱力學

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 $U\,\!$ 是外延量（extensive）熵 $S\,\!$ ，體積 $V\,\!$ ，與化學成份（chemical composition）$N_{i}\,\!$ 的顯函數

$U=U(S,\ V,\ \{N_{i}\})\,\!$ 。

對於 $-PV\,\!$ ，函數 $U\,\!$ （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 $H\,\!$ ：

$H(S,\ P,\ \{N_{i}\})=U+PV\,\!$ ，

$P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 $TS\,\!$ ，函數 $H\,\!$ 勒壤得轉換為吉布斯能函數 $G\,\!$ :

$G(T,\ P,\ \{N_{i}\})=H-TS\,\!$ ，

$T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{P,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

對於 $TS\,\!$ ，函數 $U\,\!$ 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數 $A\,\!$ :

$A(T,\ V,\ \{N_{i}\})=U-TS\,\!$ ，

$T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\ \{N_{i}\}}\,\!$ 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

古典力學(哈密頓力學)

在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 是廣義坐標 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$ 與廣義速度 ${\dot {\mathbf {q} }}\,\!$ 的函數；而哈密頓量 ${\mathcal {H}}\,\!$ 將函數的自變量轉換為廣義坐標 $\mathbf {q} \,\!$ 與廣義動量 $\mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!$ ：

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\,\!$ ，

${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ t)\,\!$ 。

正則變換

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變，$(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}\,\!\,\!$ ，

${\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=-{\dot {\mathbf {P} }}\,\!\,\!$ ，

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}\,\!$ ；

這裏，$\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!$ 是舊正則坐標，$\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!$ 是新正則坐標，${\mathcal {H}}\,\!$ 是舊哈密頓量，${\mathcal {K}}\,\!$ 是新哈密頓量，$G\,\!$ 是生成函數。

參閱

• 哈密頓力學
• 切觸幾何
• 正則變換

參考文獻

• Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3. 
• Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.