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量子力學裏,動量算符英语:momentum operator)是一種算符,可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子,作用於波函數 的動量算符可以寫為

其中, 是動量算符,約化普朗克常數虛數單位 是位置。

給予一個粒子的波函數 ,這粒子的動量期望值

其中, 是動量。

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導引 1编辑

對於一個非相對論性的自由粒子,位勢  不含時薛丁格方程式表達為

 

其中, 約化普朗克常數  是粒子的質量  是粒子的波函數  是粒子的位置,  是粒子的能量

這薛丁格方程式的解答   是一個平面波

 

其中, 波數 

根據德布羅意假說,自由粒子所表現的物質波,其波數與自由粒子動量的關係是

 

自由粒子具有明確的動量   ,給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為   。假若,對於這系綜內,每一個自由粒子系統的動量所作的測量,都得到同樣的測量值   ,那麼,不確定性   ,這自由粒子的量子態是確定態,是  本徵態,在位置空間(position space)裏,本徵函數 本徵值 

 

換句話說,在位置空間裏,動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數   [1]

為了要達到此目標,勢必要令

 

所以,可以認定動量算符的形式為

 

導引 2编辑

古典力學裏,動量是質量乘以速度:

 

在量子力學裏,由於粒子的位置不是明確的,而是機率性的。所以,猜想這句話是以期望值的方式來實現[2]

 

那麼,用積分方程式來表達,

 

其中, 波函數

取微分於積分號下,

 

由於   只是一個位置的統計參數,不跟時間有關,

 (1)

含時薛丁格方程式

 

其中,   是位勢。

共軛複數

 

將上述兩個方程式代入方程式 (1),可以得到

 

使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数 趋于零的特性,有

 (2)
 (3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差(使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数 趋于零的特性)

 

所以,

 

對於任意波函數   ,這方程式都成立。因此,可以認定動量算符   

厄米算符编辑

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量   的期望值是實值的:

 

對於任意量子態   ,這關係都成立:

 

根據伴隨算符的定義,假設    的伴隨算符,則   。因此,

 

這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符   ,都是厄米算符。

動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態   的波函數為  

 

對於任意量子態    。所以,動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數编辑

假設,動量算符  本徵值 本徵函數 

 

這方程式的一般解為,

 

其中,  是常數。

假設   的定義域是一個有限空間,從    ,那麼,可以將   歸一化

 

  的值是   。動量算符的本徵函數歸一化為  

假設   的定義域是無窮大空間,則   不是一個平方可積函數

 

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內,不能直接地積分   於無窮大空間,來使   歸一化。

換另一種方法,設定   。那麼,

 

其中, 狄拉克δ函數

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質,動量算符的本徵函數是完備的。也就是說,任意波函數   都可以表達為本徵函數的線性組合:

 

其中,係數  

 

正則對易關係编辑

位置算符與動量算符的交換算符,當作用於一個波函數時,有一個簡單的結果:

 

所以,  。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量   絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,  的本徵態與   的本徵態不同。

根據不確定性原理

 

由於    是兩個不相容可觀察量,  。所以,  的不確定性與   的不確定性的乘積   ,必定大於或等於  

參考文獻编辑

  1. ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 (英语) 
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7