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勾股数,又名商高數毕氏数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)「」之中,的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形

如果是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即也是勾股数。若果三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数

找出勾股数编辑

以下的方法可用来找出勾股数。设   均是正整数,

 
 
 

  互质,而且  為一奇一偶,计算出来的 就是素勾股数。(若  都是奇数 就会全是偶数,不符合互质。)

所有素勾股数可用上述列式当中找出,这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

例子编辑

以下是小于 100 的素勾股数:

     
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
11 60 61
12 35 37
13 84 85
16 63 65
20 21 29
28 45 53
33 56 65
36 77 85
39 80 89
48 55 73
65 72 97

让我们把上述列式重组至以下列式:

 

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现:  

其中最先例子是5,它在以下兩組勾股數之中出現  

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:

 
 
 

 
 
 

试考虑它的质因数分解

 

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。

性質编辑

  •  
  •  至少一個是3的倍數
  •  至少一個是4的倍數
  •  至少一個是5的倍數

找尋勾股數的小技巧编辑

若需要一組最小數為奇數的勾股數,可任意選取一個 3 或以上的奇數,將該數自乘為平方數,除以 2,答案加減 0.5 可得到兩個新的數字,這兩個數字連同一開始選取的奇數,三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的唯一可能,例如 並非是以 27 為起首的唯一勾股數,因為存在另一個勾股數是 ,同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數    ,三個數必為畢氏數,例如:代入 為2,則 為5, 為3, 為4, 為一組畢氏數。

推廣编辑

费马最后定理指出,若 ,而 是大于 2 的整数, 即没有正整数解。

外部链接编辑

參見编辑