包絡線

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包絡線(Envelope)是幾何學裡的概念,代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。(曲線族即一些曲線的無窮集,它們有一些特定的關係。)

建立曲線族的包絡線。

設一個曲線族的每條曲線可表示為,其中是曲線族的參數是特定曲線的參數。若包絡線存在,它是由得出,其中以以下的方程求得:

若曲線族以隱函數形式 表示,其包絡線的隱方程,便是以下面兩個方程消去得出。

繡曲線是包絡線的例子。直線族(其中是常數,是直線族的變數)的包絡線為拋物線[1]

證明编辑

設曲線族的每條曲線  

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切,對於任意的 ,設 表示 和包絡線相切的那點。由此式可見, 是包絡線的變數。要求出包絡線,就即要求出 

 的切向量為 ,其中 

在E的切向量為 。因為   的函數,而此處 局部求導有:

 

類似地得  

因為  在該點相切,因此其切向量應平行,故有

 
 

其中 。可用此兩式消去 。整理後得:  

參考编辑

參見编辑

外部連結编辑