區間

  此條目介紹的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念，请见「闭塞 (铁路)」。

區間（英語：Interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，一般以集合形式表示。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間$(10,20)$表示所有在$10$和$20$之間的實數，但不包括$10$或$20$。另一方面，閉區間$[10,20]$表示所有在$10$和$20$之間的實數，以及$10$和$20$。

嚴格定義

區間的定義可以推廣到任何全序集$T$的子集$S$，使得若$x$和$y$均屬於$S$，且$x<z<y$，則$z$亦屬於$S$。

特別重要的情況是當$T=\mathbb {R}$。

$\mathbb {R}$的區間有以下十一種（$a$和$b$為實數且$a<b$）：

1. $(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$
2. $[a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$
3. $[a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}$
4. $(a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}$
5. $(a,\infty )=\{x\mid x>a\}$
6. $[a,\infty )=\{x\mid x\geq a\}$
7. $(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}$
8. $(-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}$
9. $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$自身，實數集
10. $[a,a]=\{a\}$，即單元素集合
11. $\varnothing$，即空集

1、5、7稱為開區間（因為它們是開集）；2、6、8、10稱為閉區間（因為它們是閉集）；3、4稱為半開區間、半閉區間或半開半閉區間；而9、11同時為開區間和閉區間，並非半開區間或半閉區間。

1、2、3、4、10、11為有界區間；5、6、7、8、9為無界區間；10為單點。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

$T\times S=\{x\mid {}$屬於$T$的某些$y$，及屬於$S$的某些$z$，使得$x=y\times z\}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集$[a,b]$及$[c,d]$：

$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

$[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]$

$[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]$

${\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集$X(Y+Z)$是$XY+XZ$的子集。

另一種寫法

在法国及其他一些欧洲国家，用$][$代替$()$來表示开区间，例如：

$\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}$

$\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$

$\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}$

$\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}$

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將$[1,2.3]$寫成$[1;2,\!3]$。若只把小數點寫成逗號，就會變成$[1,2,\!3]$，此時不易判斷究竟是$1.2$與$3$之間，還是$1$與$2.3$之間的閉區間。