单位阶跃函数

單位階躍函數，又称赫维赛德阶跃函数，定義如下：

$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$

另一种定义为：

$H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}$

或

$H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)$

它是個不連續函數，其「微分」是狄拉克δ函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數的累積分布函數。

事實上，$x=0$的值在函數應用上並不重要，可以任意取。

這個函數由奥利弗·黑維塞提出。

連續函數逼近

• $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}$

有許多可以以解析方式近似的函數，以下是二個例子：

• $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\$
• $H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\$

積分表示

${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$