卜瓦松分布

泊松分布（法語：loi de Poisson；英語：Poisson distribution）又稱Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則（Poisson law of small numbers），是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。

泊松分布

概率质量函數 横轴是索引k，发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。
累積分布函數 横轴是索引k，发生次数。CDF在整数k处不连续，且在其他任何地方都是水平的，因为服从泊松分布的变量只针对整数值。
参数	λ > 0（实数）
值域	$k\in \{0,1,2,3,\cdots \}$
概率质量函数	${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$
累積分布函數	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}$，或$e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$，或$Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (对于$k\geq 0$，其中$\Gamma (x,y)$是不完全Γ函数，$\lfloor k\rfloor$是高斯符号，Q是规则化Γ函数)
期望值	$\lambda$
中位數	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
眾數	$\lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor$
方差	$\lambda$
偏度	$\lambda ^{-1/2}$
峰度	$\lambda ^{-1}$
熵	$\lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ （假设$\lambda$较大） ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$ $\qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$
矩生成函数	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
特徵函数	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$
概率母函数	$\exp(\lambda (z-1))$

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子數分布等等。（單位時間內發生的次數，可以看作事件發生的頻率，類似物理的頻率$f$）。

泊松分布的機率質量函数为：

$P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$

泊松分布的参数$\lambda$是随机事件发生次数的数学期望值。

记号

若$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim \pi (\lambda )$，或记为$X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )$.

假设

如果以下假设成立，则适用泊松分布：

1. k是一个非负整数，是某个事件在某个时间间隔内发生的次数。
2. 一个事件的发生不会影响第二个事件的概率。
3. 事件发生的平均速率与任何事件的发生无关。
4. 两个事件不可能在同一时刻发生。

如果这些条件成立，则k是泊松随机变量；k的分布是泊松分布。

性质

1. 服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数$\lambda$ : $E(X)=V(X)=\lambda$
2. 兩個獨立且服从泊松分布的随机变量，其和仍然服从泊松分布。更精確地說，若 $X\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1})$且 $Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{2})$，則$X+Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})$。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布，則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布（Raikov定理）。
3. 其動差母函數为：

$M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}$

推導

期望值：(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)

${\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}$

我們可以得到：$Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda$

如同性質：$E(X)=Var(X)=\lambda$、$\sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}$

相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈：

$X\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}),Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{2}).$

$P(X=k_{1})={\dfrac {\lambda _{1}^{k_{1}}e^{-\lambda _{1}}}{k_{1}!}},P(Y=k_{2})={\dfrac {\lambda _{2}^{k_{2}}e^{-\lambda _{2}}}{k_{2}!}}.$

${\begin{aligned}P(X+Y=k)&=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{i!(k-i)!}}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{k!}}\sum _{i=0}^{k}C_{k}^{i}\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{k}}{k!}}\end{aligned}}$

$X+Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})$

泊松分布的来源（泊松小数定律）

在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数$n$很大，二项分布的概率$p$很小，且乘积$\lambda =np$比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散時間上的对应物。

证明如下。首先，回顾自然對數$e$的定义：

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },$

二项分布的定义：

$P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$。

如果令$p={\frac {\lambda }{n}}$， $n$趋于无穷时$P$的极限：

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}$

最大似然估計（MLE）

给定$n$个样本值$k_{i}$，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数$\lambda$的估计。为计算最大似然估计值，列出对数似然函数：

${\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!$

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）：

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!$

检查函数$L$的二阶导数，发现对所有的$\lambda$与$k_{i}$大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数$L$的极大值点：

${\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}$

例子

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到$\lambda$的估计为${\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87$。

生成泊松分布的随机变量

一个用来生成随机泊松分布的数字（伪随机数抽样）的简单算法，已经由高德纳给出（见下文参考）：

algorithm poisson random number (Knuth):
    init:
         Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
    while p > L.
    return k − 1.

尽管简单，但复杂度是线性的，在返回的值$k$，平均是$\lambda$。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出，请参阅下面的参考资料。同样，对于较大的$\lambda$值，$e^{-\lambda }$可能导致数值稳定性问题。对于较大$\lambda$值的一种解决方案是拒绝采样，另一种是采用泊松分布的高斯近似。

对于很小的$\lambda$值，逆变换取样简单而且高效，每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过$u$的样本，才需要检查累积概率。

algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:
    init:
         Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
         Generate uniform random number u in [0,1].
    do:
         x ← x + 1.
         p ← p * λ / x.
         s ← s + p.
    while u > s.
    return x.

参见

• 泊松过程
• 概率论
• 泊松回归
• 概率分布

参考文献

来源

• Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). 2012, 1: 21–28 [2017-10-30]. （原始内容存档于2018-02-21）. 
• Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions. Computing. 1974, 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108. 
• Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Generation of Poisson Deviates. ACM Transactions on Mathematical Software. 1982, 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997. 
• Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers. The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6. SIAM Review. 1988, 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059. 
• Donald E. Knuth. Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Volume 2. Addison Wesley. 1969.