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数论,特别是整除理论中,原根是一个很重要的概念。

對於两个正整数,由欧拉定理可知,存在正整数, 比如说欧拉函数,即小于等于的正整数中与互質的正整数的个数,使得

由此,在時,定義对模的指数為使成立的最小的正整数。由前知 一定小于等于 ,若,則稱是模的原根

例子编辑

 ,则 等于6。

  •  ,由于 ,而 ,所以 2 不是模 7 的一个原根。
  •  ,由于      ,因此有 ,所以 3 是模 7 的一个原根。

性质编辑

  • 可以证明,如果正整数 和正整数 d 满足 ,则   整除 d。[1]因此 整除 。在例子中,当 时,我们仅需要验证 3 的 2、3 次方模 7 的余数即可,如果其中有一个是1,则3就不是原根。
  •  ,则 模 m 两两不同余。因此当 是模 的原根时, 构成模 m 的简化剩余系
  •  有原根的充要條件是 ,其中 是奇質數, 是任意正整數
  • 对正整数 ,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模m乘法群(即加法群 Z/mZ 的可逆元,也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zm×的一个生成元。由于Zm× 个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即  个,因此当模 有原根時,它有 個原根。

一些數的原根列表编辑

m 模m的原根(有*號的數沒有原根,此時是有最大模m週期的數) 週期 ( A002322)
1 0 1
2 1 1
3 2 2
4 3 2
5 2, 3 4
6 5 2
7 3, 5 6
8* 3, 5, 7 2
9 2, 5 6
10 3, 7 4
11 2, 6, 7, 8 10
12* 5, 7, 11 2
13 2, 6, 7, 11 12
14 3, 5 6
15* 2, 7, 8, 13 4
16* 3, 5, 11, 13 4
17 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14 16
18 5, 11 6
19 2, 3, 10, 13, 14, 15 18
20* 3, 7, 13, 17 4
21* 2, 5, 10, 11, 17, 19 6
22 7, 13, 17, 19 10
23 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21 22
24* 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 2
25 2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23 20
26 7, 11, 15, 19 12
27 2, 5, 11, 14, 20, 23 18
28* 3, 5, 11, 17, 19, 23 6
29 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27 28
30* 7, 13, 17, 23 4
31 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24 30
32* 3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29 8
33* 2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29 10
34 3, 5, 7, 11, 23, 27, 29, 31 16
35* 2, 3, 12, 17, 18, 23, 32, 33 12
36* 5, 7, 11, 23, 29, 31 6

除了直接運算以外,至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根,但假如已知模m有一個原根,則可找出它其他的原根。

最小原根编辑

模 p 的最小原根 g p 定義為在 1 到 p-1 中最小的原根。數學家已經給出最小原根的上界及下界的一些限制。

伯吉斯(1962)證明對任何 ε>0,存在一個 C>0,使得  

Emil Grosswald (1981) 證明如果  ,則  

参考资料及注释编辑

參見编辑