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数学向量代数领域,叉積(英語:Cross product)又称向量积(英語:Vector product),是对三维空间中的两个向量二元运算,使用符号 。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 ,它们的叉积写作 ,是 所在平面的法线向量,与 垂直。叉积被广泛运用于数学、物理工程学计算机科学领域。

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

如果两个向量方向相同或相反(即它们非线性无关),亦或任意一个的长度为零,那么它们的叉积为零。推广开来,叉积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等;如果两个向量成直角,它们叉积的模长即为两者长度的乘积。

叉积和点积一样依赖于欧几里德空间度量,但与点积之不同的是,叉积还依赖于定向右手定則

在右手坐标系中的向量积

定义编辑

 
使用右手定則确定叉积的方向

两个向量    的叉积仅在三维空间中有定义,写作  。在物理学中,叉积有时也被写成 ,但在数学中  外代数中的外积。

叉积   是与    都垂直的向量  。其方向由右手定則决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。

叉积可以定义为:

 

其中   表示    在它们所定义的平面上的夹角 )。   是向量   模长,而   则是一个与    所构成的平面垂直单位向量,方向由右手定則决定。根据上述公式,当    平行(即   为 0° 或 180°)时,它们的叉积为零向量  

 
叉积a × b(垂直方向、紫色)随着向量 a(蓝色)和 b(红色)的夹角变化。 叉积垂直于两个向量,模长在两者平行时为零、在两者垂直时达到最大值‖a‖‖b‖。

按照惯例,向量   的方向由右手定則决定:将右手食指指向   的方向、中指指向   的方向,则此时拇指的方向即为   的方向。使用这一定则意味着叉积满足反交换律 :将右手食指指向  、中指指向  ,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了叉积的符号。

由此可以看出,使用叉积需要考虑坐标系的利手性(英語:Handedness),如果使用的是左手坐标系,向量   的方向需要使用左手定则决定,与右手坐标系中的方向相反。

这样就会带来一个问题:参照系的变换不应该影响   的方向(例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换)。因此,两个向量的叉积并不是(真)向量,而是伪向量

计算编辑

坐标表示编辑

 
基向量ijk,也记作 e1e2e3)和向量 a 的分解(axayaz,也记作 a1a2a3)

右手坐标系中,基向量     满足以下等式:

 

根据反交换律可以得出:

 

根据叉积的定义可以得出:

 零向量)。

根据以上等式,结合叉积的分配律线性关系,就可以确定任意向量的叉积。

向量    可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和:

 

两者的叉积   可以根据分配律展开:

 

即把   分解为九个仅涉及     的简单叉积之和。九个叉积各自所涉及的向量,要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中,然后合并同类项,可以得到:

 

即结果向量   的三个标量元素为:

 

也可以记作列向量的形式:

 

矩阵表示编辑

 
根据萨吕法则确定 uv 的叉积

叉积可以表达为这样的行列式

 

这个行列式可以使用萨吕法则拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为:

 

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为:[1]

 

都可以直接得到结果向量。

性质编辑

代数性质编辑

對於任意三個向量    

  •  
  •  
  •  反交换律
  •  (加法的左分配律
  •  (加法的右分配律
  •  
  •  
  •  
  •  拉格朗日恆等式

一般來說,向量叉積不遵守約簡律,即   不表示  。此外,  不表示   

但對於两个非零向量   

  •   當且僅當   平行於  

几何意义编辑

 
图1:平行四边形面积即叉积的模长
 
图2:三个向量定义平行六面体

如果以向量    为边构成一个平行四边形,那么这两个向量叉积的模长与这个平行四边形的正面积相等(如图1):

 

同时,如果以向量     为棱构成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积   也可以通过叉积和点积的组合得到,这种积称作标量三重积(如图2):

 

因为标量三重积可能为负,平行六面体的体积需要取其绝对值:

 

因为叉积的模长与其参数夹角的正弦有关,可以认为叉积是「垂直度」的度量,正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量,叉积为1意味着它们互相垂直,叉积为0意味着它们互相平行。点积则相反:点积为0意味着它们互相垂直。

单位向量还能带来两个特性:两个单位向量的点积是它们夹角的余弦(可正可负);它们叉积的模长则为夹角的正弦(始终为正)。

向量微分编辑

對於實數   和兩個向量值函數   乘積法則成立:

  •  

三維坐標编辑

给定直角坐标系的单位向量   满足下列等式:

   

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

 
 

 

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述     之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转

高维情形编辑

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

 
 
 
  •   同时与    垂直:
 
 
 

应用编辑

另外,在物理学力学电磁学光学计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩角动量洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。

参见编辑

  • ^ Dennis G. Zill; Michael R. Cullen. Equation 7: a × b as sum of determinants. cited work. Jones & Bartlett Learning. 2006: 321. ISBN 0-7637-4591-X.