雙代數

(重定向自双代数

數學中,域 上的雙代數是兼具 上之結合代數(具單位元)與餘代數的結構,而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數

定義编辑

相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態,這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態,因為兩者由相同的交換圖刻画。

由單位圖表的對稱性,也可導出下述事實:如果   是雙代數,而且   具有良好的對偶空間  (例如當   維度有限時),則   也帶有自然的雙代數結構。

圖表编辑

定義中的相容性由以下交換圖給出:

乘法與餘乘法相容:

 

乘法與餘單位元相容:

 

餘乘法與單位元相容:

 

單位元與餘單位元相容:

 

在此   是代數乘法,而   是代數之單位元。  是餘代數乘法,而   是餘代數單位元。  定義為  

式子编辑

若以算式具體描述,則相容關係有如下之表示(在此採用省略   之 Sweedler 記法):

乘法與餘乘法相容:

 

乘法與餘單位元相容:

 

餘乘法與單位元相容:

 

單位元與餘單位元相容:

 

在此我們省略代數乘法之映射  ,而直接以兩項並置表之。同理,單位元   直接以單位元素   表示(對應到  )。

相關文獻编辑

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

參見编辑