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复平面上的双伽玛函数。点的颜色与的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值,而色彩则与辐角有关。

双伽玛函数伽玛函数对数导数

它是第一个多伽玛函数

与调和数的关系编辑

双伽玛函数,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或 来表示,与调和数有以下的关系:

 

其中Hn是第n个调和数,γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值,它可以表示为:

 

积分表示法编辑

它有以下的积分表示法:

 

也可以写为

 

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数编辑

双伽玛函数有一个有理ζ级数,由z=1的泰勒级数给出。这是

 ,

当|z|<1时收敛。在这里, 黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数编辑

双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出:

 

其中 二项式系数

反射公式编辑

双伽玛函数满足一个反射公式,类似于伽玛函数的反射公式:

 

递推关系编辑

双伽玛函数满足以下的递推关系

 

高斯和编辑

双伽玛函数具有以下形式的高斯和

 

其中m是整数,且 。在这里,ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数 是一个伯努利多项式乘法定理的一种特殊情况是:

 

一个推广为:

 

其中假设了q是自然数,而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理编辑

对于正整数    ,双伽玛函数可以用初等函数来表示:

 

特殊值编辑

双伽玛函数有以下的特殊值:

 
 
 
 
 
 
 

参见编辑

参考文献编辑