打开主菜单

双曲线

平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线

数学中,双曲线希臘語ὑπερβολή,意思是超过、超出)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线

它还可以定义为与两个固定的点(称为焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是的两倍,这里的是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上,它们的中间点称为中心。

从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线

使得,这裡的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对的多于一个的解。

注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

  • 等轴双曲线:双曲线的实轴与虚轴长相等,即,此时渐近线方程为(无论焦点在轴还是轴)。
  • 共轭双曲线:双曲线的实轴是双曲线的虚轴且双曲线的虚轴是双曲线的实轴时,称双曲线与双曲线为共轭双曲线。
几何表达:
特点:
  1. 共渐近线,与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
  2. 焦距相等。
  3. 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于
  • 单位双曲线:属于等轴双曲线,且半实轴和半虚轴的长均为,即
满足方程:

定义编辑

 
共轭单位直角双曲线

前两个上面已经列出了:

  • 平面切直角圆锥面的两半的交截线。
  • 与两个固定点(称为焦点)距离差为常数的点的轨迹
  • 到一个焦点的距离和到一条直线(称为准线)的距离的比例是大于 的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的偏心率

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大,双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点,并对于东西开口的双曲线有斜率 ,对于北南开口的双曲线有斜率 

双曲线有个性质,出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线,它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程 给出,这裡的 是常数。

如果对双曲线方程交换  ,得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

笛卡尔坐标编辑

中心位于 的左右开口的双曲线:

 

中心位于 的上下开口的双曲线:

 

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点(拐点)。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中, 半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而 半虚轴

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是 ,平行于实轴的两边的长度是 ,注意 可以大于 

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是 

 
直角双曲线 的图像。

离心率给出自:

 

左右开口的双曲线的焦点是: ,其中c给出自 

上下开口的双曲线的焦点是: ,其中c给出自 

对于以直线 和直线 为渐近线的直角双曲线:

 

这种双曲线最简单的例子是:

 

极坐标编辑

左右开口的双曲线:

 

上下开口的双曲线:

 

上右下左开口的双曲线:

 

上左下右开口的双曲线:

 

在所有公式中,中心在极点,而 是半实轴和半虚轴。

双曲线的参数方程编辑

如同正弦和余弦函数给出椭圆参数方程双曲函数给出双曲线的参数方程。 左右开口的双曲线:

 

 

上下开口的双曲线:

 

 

在所有公式中, 是双曲线的中点, 是半实轴而 是半虚轴。

双曲线的标准方程编辑

焦点在 轴: 

焦点在 轴: 

双曲线的渐近线方程编辑

焦線平行於 轴: 

焦線平行於 轴: 

圆锥曲线方程编辑

 

 时,表示双曲线。其中 为焦点到准线距离, 为弦与 轴夹角。

参考文献编辑

外部链接编辑

参见编辑