抽象代数中,一个双模bimodule)是一个既为左也为右模的阿贝尔群,且左右乘法相容。除了自然出现于许多数学领域,双模也扮演着澄清的角色,许多左模与右模之间的关系当将其用双模来表示时变得简单。

定义编辑

如果 RS 是两个环,则一个 R-S-双模是一个阿贝尔群 M 使得:

  1. M 是一个左 R-模和一个右 S-模;
  2. 对所有 r 属于 Rs 属于 S 以及 m 属于 M
(rm)s = r(ms).

一个 R-R-双模也称为 R-双模。

例子编辑

  • 对正整数 nmn × m 实数矩阵集合 Mn,m(R) 是一个 R-S 双模,这里 Rn × n 矩阵环 Mn(R),而 Sm × m 矩阵环 Mm(R)。加法与乘法是通常的矩阵加法矩阵乘法;矩阵的高度与宽度已选定故可以定义乘法。注意到 Mn,m(R) 自己不是一个环(除非 n = m)因为两个 n × m 矩阵相乘没有定义。双模的关键性质 (r x)s = r(x s),即矩阵乘法服从结合律的陈述。
  • 如果 R 是一个环,则 R 自身是一个 R-双模,同样 RnRn-重直积)。
  • R 的任何双边理想是一个 R-双模。
  • 交换环 R 上任何模自然是一个双模。例如若 M 是一个左模,我们可以定义在右边的乘法与在左边的乘法一样(但不是所有 R-双模都是这样的)。
  • 如果 M 是一个左 R-模,则 M 是一个 R-Z 双模,这里 Z整数环。类似地,右 R-模可理解为 Z-R 双模,事实上一个阿贝尔群可以视为一个 Z-Z 双模。
  • 如果 RS 的一个子环,则 S 是一个 R-双模。它也是一个 R-SS-R 双模。

其他概念与事实编辑

如果 MNR-S 双模,则一个映射 f : MN 是一个双模同态如果它既是左 R-模同态也是右 S-模同态。

一个 R-S 双模事实上与环   上一个左模是一回事,这里 SopS 的反环(将乘法给变顺序)。双模同态与左   模同态一样。利用这些事实,许多关于模的定义与陈述可立即翻译为双模的定义与陈述。例如,所有 R-S 双模之范畴阿贝尔的,标准同构定理对双模也成立。

但是在双模的世界中仍有某些新结果,特别是张量积:如果 M 是一个 R-S 双模而 N 是一个 S-T 双模,则 MN 的张量积(在环 S上取)自然是一个 R-T 双模。这个双模的这个张量积是结合(相差惟一一个典范同构),从而我们可以构造一个范畴,其对象是环而态射是双模。进一步,如果 M 是一个 R-S 双模而 L 是一个 T-S 双模,则集合 HomS(M,L) of 所有从 ML S-模同态成为一个自然的 T-R 双模。这些论述推广为导出函子 ExtTor

副函子英语Profunctor可以视为双模的一个范畴推广。

注意双模的概念与双代数完全无关。

相关条目编辑

参考文献编辑