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反餘切
Two kind of arccot.svg

反餘切函數有多種定義方式
    綠色代表直接對餘切函數取反函數[函數 1]
    藍色表示取最小正同界角[函數 2]
    紅色表示在複變分析反餘切實數[函數 3]
性質
奇偶性 [函數 2]
奇函数[函數 3]
定義域 實數
到達域 [函數 2]
[函數 3]
周期 N/A
特定值
當x=0
當x=+∞ 0
當x=-∞ [函數 2]
0[函數 3]
其他性質
渐近线 [函數 2]
[函數 3]
無窮大
拐點 [函數 2]

反餘切英语:arccotangent[3],記為:[4][5][6]arcctg[7]ACOT[8][1])又稱為逆餘切,是一種反三角函數[9][2],對應的三角函數餘切函數,是利用已知直角三角形的鄰邊和對邊這兩條直角邊長度的比值求出其夾角大小的函數,但其輸入值和反正切的輸入值互為倒數,是高等數學中的一種基本特殊函數

反餘切可以視為餘切反函數,但餘切函數周期函數且在實數上不具有一一對應的關係,所以不存在反函數,但也可以視為多值函数[函數 1][1],因此我們必須限制餘切函數的定義域使其成為單射滿射也是可逆的。

一般最常見的方式是限制餘切函數定義域0π之間[10][1][11],如下圖所示(以紅色曲線表示),此時反餘切函數不是奇函数也不是偶函数,而是一個單調遞減有界函數[12]最大值最小值為0且函數連續,但有兩條漸近線

Arccotangent.svg

另外一種定義方式是限制餘切函數定義域之間[13],如下圖所示[14](以紅色曲線表示),這種限制方式與反正切相同,此時反餘切函數是奇函數,值域與其他相關性質皆與反正切類似,但函數並不連續。

Arccotangent alternate.svg

由於餘切是周期函數,而上述二種定義方式皆是取餘切的一個週期,因此其定義域皆為實數。但當將反餘切函數擴展至複數時,會採用後者的定義方式[4]

但由於複變分析的定義方式會造成函數不連續[函數 3],在時有斷點,因此應用在測量學上時會採用取最小同界角的方式[函數 2]避免斷點[15]

反餘切函數經常記為[1]在外文文獻中常記為[16][4][5][6],在一些舊的教科書中也有人記為arcctg,但那是舊的用法。根據ISO 31-11,應將反餘切函數記為,因為可能會與混淆,正切函數

目录

定義编辑

反餘切表示餘切的反函數,因此是一個多值函數[1]。為了要符合函數定義,因此要對原函數加以限制,從而存在多種定義方式。最常見的定義方式有兩種:

  1. 餘切函數限制在 反函數[1],應用於測量學
  2. 餘切函數限制在 反函數[2],應用於複變分析

在複變分析中則是採用第二種定義延伸至複數[4],並存在等式:

 

這個動作使反餘切被推廣到複數

 
拓展到複數的反餘切函數

此外,反餘切函數[函數 3]也可以使用其他反三角函數進行定義[2]

 

直角坐标系中编辑

直角坐標系中,反餘切函數可以視為已知直線垂線斜率的傾角,但是有可能差一個負號。

級數定義编辑

反餘切函數可以使用無窮級數定義:

 [函數 2]

 時給出反餘切函數的泰勒展開式為[函數 3][17]

 

以上等式也可以直接用來表示取最小同界角的反餘切函數[函數 2]

也可以用當 洛朗級數來定義,對應 的情形:

 [函數 3]

此外也有歐拉導出的無窮級數[18]

 [函數 3]

性質编辑

由於反餘切函數[函數 3]在當 不等於零時是一個奇函數,因此滿足下面等式:

 

另外對於取最小同界角的反餘切函數[函數 2]也滿足等式[19]

 

反餘切函數是一個遞減函數。

反餘切雖有多種定義方式,但其在 時值是一樣的,為 [20]。在複變分析中 時不連續左極和右極互為相反數[函數 3],而反餘切若是取最小同界角則在 時連續。

反餘切函數的微分導數為[註 1]

 [21]
 
 
 
 

除了反正切,反餘切函數同樣可以表示梅欽類公式[22]

 

恆等式编辑

 
 
  如果  
  如果  

和差编辑

 
 
 

積分编辑

 
 
 
 

參見编辑

註釋编辑

  1. ^ 微分導數在三種定義下皆相同,但第三種定義在0不可微
不同的反餘切定義
  1. ^ 1.0 1.1 直接對餘切函數取反函數 ,是多值函数
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 取最小同界角的反餘切函數[1]
  3. ^ 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 複變反餘切函數的實數[2]

參考文獻编辑

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  10. Lehmer, D. H. "On Arccotangent Relations for pi." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938b.
  11. Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.
  12. Bennett, A. A. "The four term Diophantine arccotangent relation." Annals of Mathematics (1925): 21-24.

外部連結编辑