打开主菜单
反正割
Arcsec.svg
性質
奇偶性
定義域 [1]
到達域
周期 N/A
特定值
當x=0 不存在[註 1]
當x=+∞
當x=-∞
當x=1 0
當x=-1
其他性質
渐近线

反正割英语:arcsecant[3]、記為:)是一種反三角函數[4],對應的三角函數為正割函數,用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數,是高等數學中的一種基本特殊函數,其輸入值與反餘弦互為倒數。

由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係,所以不存在反函數,但我們可以限制其定義域,因此,反正割是單射也是可逆的,由於限制正割函數的定義域在时,其值域是全體實數,但在區間不存在。

目录

符號编辑

反正割一般記為 [5] [6][7][8][9],以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z[10]和Sec-1 z一般用於表示多值函數[6]。在符號 上的上標-1是表示反函數,而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為 ,因為 可能會與 混淆, 餘弦函數

定義编辑

原始的定義是將正割函數限制在 反函數
複變分析中,反正割是這樣定義的:

 

這個動作使反正割被推廣到複數

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形,可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

 
拓展到複數的反正割函數

直角三角形中编辑

直角三角形中,反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的 的大小,也就是:

 

此外在直角三角形中,若已知斜邊為 且鄰邊為單位長, 代入反正割可求得對應的角的大小:

 

因此,根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示:

 
 
 

直角坐標系中编辑

 是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角 是角的终边上一点, 是P到原点O的距离,若已知 ,則可利用反正割求得未知的象限角 

 

級數定義编辑

反正割函數可以使用無窮級數定義:

 

反正割函數的泰勒展開式為:

 

參見编辑

註釋编辑

  1. ^ 由於反正割在x=0未定義,因此考慮複變反正割函數,[2]但由在x=0時於左極限不等於右極限,因此也不存在極限因此Arcsec 0不存在。

參考文獻编辑

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. ^ 反正割在x=0的極限 wolframalpha.com [2014-08-08]
  3. ^ 反正割arcsecant-學術名詞資訊 互联网档案馆存檔,存档日期2014-08-09. 國家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
  4. ^ Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
  5. ^ Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
  6. ^ 6.0 6.1 Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
  7. ^ Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
  8. ^ Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
  9. ^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
  10. ^ Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.

外部連結编辑