反正弦(arcsine, arcsin {\displaystyle \arcsin } , sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} )是一種反三角函數。在三角學中,反正弦被定義為一個角度,也就是正弦值的反函數。正弦函數不是一個對射函數(即多個值可能只得到一個值,例如1和所有同界角),故無法有反函數,但你可以限制其定義域,因此,它是單射和滿射也是可逆的。按照定義,我們將實數的定義域限制在區間 [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} 中的正弦函數,在原始的定義中,若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ,是沒有意義的,但是三角函數擴充到複數之後,若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ,將傳回複數。
反正弦的符號是 arcsin {\displaystyle \arcsin } ,也常常計作 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} ,但這樣其實是不明確的,因為,可能會和指數混淆,以致於被當成倒數,但是倒數也有自己的寫法,例如 sin {\displaystyle \sin } 倒數是 csc {\displaystyle \csc } ,因此不易和 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} 混淆。另外在某些電算器的按鍵或電腦的編程語言中,反正弦會以asin或asn表示。
原始的定義是將正弦函數限制在 [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} 的反函數,得到如下定義域和值域:
利用自然對數可將定義推廣到整個複數集:
他的微分是:
由於對稱關係保持負的參數,根據定義的奇函數,存在如下等式: arcsin ( − x ) = − arcsin x {\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x}
另外,反正弦的和差也可以核定成一個反正弦來表達:
con X = arcsin ( x 1 1 − x 2 2 ± x 2 1 − x 1 2 ) {\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)}
和差公式:
arcsin ( x ± y ) = arcsin ( 1 + x 2 − y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) ± arcsin ( 1 − x 2 + y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}
倍變數公式: arcsin ( 2 x ) = 2 arcsin ( 1 − 1 − 4 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)}
arcsin ( x 2 ) = 2 arcsin ( 1 − 1 − x 2 4 2 ) {\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)}
arcsin ( k x ) = 2 arcsin ( 1 − 1 − k 2 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)}
per 0 ≤ kx ≤ 1