反正弦（arcsine， arcsin {\displaystyle \arcsin } ， sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} ）是一種反三角函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。正弦函數不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但你可以限制其定義域，因此，它是單射和滿射也是可逆的。按照定義，我們將實數的定義域限制在區間 [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} 中的正弦函數，在原始的定義中，若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，將傳回複數。
反正弦的符號是 arcsin {\displaystyle \arcsin } ，也常常計作 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} ，但這樣其實是不明確的，因為，可能會和指數混淆，以致於被當成倒數，但是倒數也有自己的寫法，例如 sin {\displaystyle \sin } 倒數是 csc {\displaystyle \csc } ，因此不易和 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} 混淆。另外在某些電算器的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。
原始的定義是將正弦函數限制在 [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} 的反函數，得到如下定義域和值域：
利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：
他的微分是：
由於對稱關係保持負的參數，根據定義的奇函數，存在如下等式： arcsin ( − x ) = − arcsin x {\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x}
另外，反正弦的和差也可以核定成一個反正弦來表達：
con X = arcsin ( x 1 1 − x 2 2 ± x 2 1 − x 1 2 ) {\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)}
和差公式：
arcsin ( x ± y ) = arcsin ( 1 + x 2 − y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) ± arcsin ( 1 − x 2 + y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}
倍變數公式： arcsin ( 2 x ) = 2 arcsin ( 1 − 1 − 4 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)}
arcsin ( x 2 ) = 2 arcsin ( 1 − 1 − x 2 4 2 ) {\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)}
arcsin ( k x ) = 2 arcsin ( 1 − 1 − k 2 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)}
per 0 ≤ kx ≤ 1
.
![{\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bf0ac1ca80348cb47347ee51863067a3fa03c1)
![\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7f827ec0fecb3f314ba32e6fe8320742e669ba)
