反正弦

反正弦
性質
奇偶性	奇
定義域	[-1, 1]
到達域	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
周期	N/A
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	${\frac {\pi }{2}}$
最小值	$-{\frac {\pi }{2}}$
其他性質
渐近线	N/A
根	0

反正弦（arcsine，$\arcsin$，$\sin ^{-1}$）是一種反三角函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。正弦函數不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但你可以限制其定義域，因此，它是單射和滿射也是可逆的。按照定義，我們將實數的定義域限制在區間$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$中的正弦函數，在原始的定義中，若輸入值不在區間$[-1,1]$，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間$[-1,1]$，將傳回複數。

命名

反正弦的符號是$\arcsin$，也常常計作$\sin ^{-1}$，但這樣其實是不明確的，因為，可能會和指數混淆，以致於被當成倒數，但是倒數也有自己的寫法，例如$\sin$倒數是$\csc$，因此不易和$\sin ^{-1}$混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。

定義

原始的定義是將正弦函數限制在$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$的反函數，得到如下定義域和值域：

$\arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$

利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：

$\arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$

拓展到複數的反正弦函數

運算

他的微分是：

${\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots$.

由於對稱關係保持負的參數，根據定義的奇函數，存在如下等式： $\arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x$

另外，反正弦的和差也可以核定成一個反正弦來表達：

$\arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}$

con $X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)$

和差公式：

$\arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)$

倍變數公式： $\arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)$

$\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)$

$\arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)$

per 0 ≤ kx ≤ 1

$\arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}$

參見

• 正弦