反正弦

反正弦
Arcsin.svg
性質
奇偶性
定義域 [-1, 1]
到達域
周期 N/A
特定值
當x=0 0
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值
最小值
其他性質
渐近线 N/A
0
拐點 原點
不動點 0

反正弦(arcsine,)是一種反三角函數。在三角學中,反正弦被定義為正弦值的反函數。在实数域内,正弦函數不是一個双射函數,故在整个定义域上無法有单值的反函數;但若限定定义域在内,则正弦函数有反函数。在实数域内,通常将反正弦函数的定義域限制在區間中;若利用自然对数,则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集,但这样一来反正弦函数也将变成多值函数

命名编辑

反正弦的符號是,也常常写作 。如此写法可以被接受的理由是,正弦函数的倒数是余割,有单独的写法,因此不易和 混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中,反正弦會以asin或asn表示。

定義编辑

原始的定義是將正弦函數限制在 反函數,得到如下定義域和值域:

 

利用自然對數可將定義推廣到整個複數集:

 
 
拓展到複數的反正弦函數

運算编辑

反正弦函数的导数是:

 
故实数域内,它在整个定义域上单调递增
反正弦函数的泰勒级数是:
 .

反正弦函数是奇函数,故:

 

另外,反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達:

 

其中 

和差公式:

 

倍變數公式:

 

 

 (对0 ≤ kx ≤ 1)

 

參見编辑