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下取整函数
上取整函数

数学计算机科学中,取整函数是一类将实数映射到相近的整数函数[1]

常用的取整函数有两个,分别是下取整函数上取整函数

下取整函数即為取底符號,在数学中一般记作或者,在计算机科学中一般记作floor(x),表示不超过x的整数中最大的一个。

举例来说,。对于非负的实数,其下取整函数的值一般叫做它的整数部分取整部分。而叫做x小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和,而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号也会用方括号表示(),称作高斯符号

上取整函数即為取頂符號在数学中一般记作,在计算机科学中一般记作ceil(x),表示不小于x的整数中最小的一个。

举例来说,

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文ceiling(天花板)和floor(地板),相关的记法由肯尼斯·艾佛森于1962年引入。[2]

性质编辑

对于下取整函数,有如下性质。

  • 按定义:
  当且仅当x为整数时取等号。
  • 设x和n为正实数,则:
 
  • 下取整函数为等幂运算 .
  • 对任意的整数k和任意实数x
 
  • 一般的數值修約規則可以表述为将x映射到floor(x + 0.5);
  • 下取整函数不是连续函数,但是上半连续的。作为一个分段的常数函数,在其导数有定义的地方,下取整函数导数为零。
  • x为一个实数,n为整数,则由定义,nx当且仅当n ≤ floor(x)。
  • 用下取整函数可以写出若干个素数公式,但没有什么实际价值。
  • 对于非整数的x,下取整函数有如下的富裡葉展开:
 
  • 对于互素的正整数mn,有:
 
  • 根据Beatty定理,每个正无理数都可以通过下取整函数制造出一个整数集的分划
  • 最后,对于每个正整数k,其在 p 进制下的表示有  数位

对于上取整函数:

  • 显然有:
 
  • 以及:
 
  • 对于整数k有:
 .

其它等式编辑

  •  
  • x为一个实数,n为整数,则
 
 
  • 对于两个相反数的下取整函数,有:
如果x为整数,则 
否则 

参考来源编辑

  1. ^ Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
  2. ^ Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.