变分自编码器

机器学习中，变分自编码器（Variational Autoencoder，VAE）是由Diederik P. Kingma和Max Welling提出的一种人工神经网络结构，属于概率图模式和变分贝叶斯方法。

VAE与自编码器模型有关，因为两者在结构上有一定亲和力，但在目标和数学表述上有很大区别。VAE属于概率生成模型（Probabilistic Generative Model），神经网络仅是其中的一个组件，依照功能的不同又可分为编码器和解码器。编码器可将输入变量映射到与变分分布的参数相对应的潜空间（Latent Space），这样便可以产生多个遵循同一分布的不同样本。解码器的功能基本相反，是从潜空间映射回输入空间，以生成数据点。虽然噪声模型的方差可以单独学习而来，但它们通常都是用重参数化技巧（Reparameterization Trick）来训练的。

此类模型最初是为无监督学习设计的，但在半监督学习和监督学习中也表现出卓越的有效性。

结构与操作概述

VAE是一个分别具有先验和噪声分布的生成模型，一般用最大期望算法（Expectation-Maximization meta-algorithm）来训练。这样可以优化数据似然的下限，用其它方法很难实现这点，且需要q分布或变分后验。这些q分布通常在一个单独的优化过程中为每个单独数据点设定参数；而VAE则用神经网络作为一种摊销手段来联合优化各个数据点，将数据点本身作为输入，输出变分分布的参数。从一个已知的输入空间映射到低维潜空间，这是一种编码过程，因此这张神经网络也叫“编码器”。

解码器则从潜空间映射回输入空间，如作为噪声分布的平均值。也可以用另一个映射到方差的神经网络，为简单起见一般都省略掉了。这时，方差可以用梯度下降法进行优化。

优化模型常用的两个术语是“重构误差（reconstruction error）”和“KL散度”。它们都来自概率模型的自由能表达式（Free Energy Expression ），因而根据噪声分布和数据的假定先验而有所不同。例如，像IMAGENET这样的标准VAE任务一般都假设具有高斯分布噪声，但二值化的MNIST这样的任务则需要伯努利噪声。自由能表达式中的KL散度使得与p分布重叠的q分布的概率质量最大化，但这样可能导致出现搜寻模态（Mode-Seeking Behaviour）。自由能表达式的剩余部分是“重构”项，需要用采样逼近来计算其期望。

系统阐述

VAE的基本框架。模型接受$x$为输入。编码器将其压缩到潜空间。解码器以在潜空间采样的信息为输入，并产生${x'}$，使其与$x$尽可能相似。

从建立概率模型的角度来看，人们希望用他们选择的参数化概率分布$p_{\theta }(x)=p(x|\theta )$使数据$x$的概率最大化。这一分布常是高斯分布$N(x|\mu ,\sigma )$，分别参数化为$\mu$和$\sigma$，作为指数族的一员很容易作为噪声分布来处理。简单的分布很容易最大化，但如果假设了潜质（latent）$z$的先验分布，可能会产生难以解决的积分。让我们通过对$z$的边缘化找到$p_{\theta }(x)$。

$p_{\theta }(x)=\int _{z}p_{\theta }({x,z})\,dz,$

其中，$p_{\theta }({x,z})$表示可观测数据$x$于$p_{\theta }$下的联合分布，和在潜空间中的形式（也就是编码后的$z$）。根据连锁法则，方程可以改写为

$p_{\theta }(x)=\int _{z}p_{\theta }({x|z})p_{\theta }(z)\,dz$

在香草VAE中，通常认为$z$是实数的有限维向量，$p_{\theta }({x|z})$则是高斯分布。那么$p_{\theta }(x)$便是高斯分布的混合物。

现在，可将输入数据和其在潜空间中的表示的映射定义为

• 先验$p_{\theta }(z)$
• 似然值$p_{\theta }(x|z)$
• 后验$p_{\theta }(z|x)$

不幸的是，对$p_{\theta }(x)$的计算十分困难。为了加快计算速度，有必要再引入一个函数，将后验分布近似为

$q_{\phi }({z|x})\approx p_{\theta }({z|x})$

其中$\phi$是参数化的$q$的实值集合。这有时也被称为“摊销推理”（amortized inference），因为可以通过“投资”找到好的$q_{\phi }$，之后不用积分便可以从$x$快速推断出$z$。

这样，问题就变成了找到一个好的概率自编码器，其中条件似然分布$p_{\theta }(x|z)$由概率解码器（probabilistic decoder）计算得到，后验分布近似$q_{\phi }(z|x)$由概率编码器（probabilistic encoder）计算得到。

下面将编码器参数化为$E_{\phi }$，将解码器参数化为$D_{\theta }$。

证据下界（Evidence lower bound，ELBO）

如同每个深度学习问题，为了通过反向传播算法更新神经网络的权重，需要定义一个可微损失函数。

对于VAE，这一思想可以实现为联合优化生成模型参数$\theta$和$\phi$，以减少输入输出间的重构误差，并使$q_{\phi }({z|x})$尽可能接近$p_{\theta }(z|x)$。重构损失常用均方误差和交叉熵。

作为两个分布之间的距离损失，反向KL散度$D_{KL}(q_{\phi }({z|x})\parallel p_{\theta }({z|x}))$可以很有效地将$q_{\phi }({z|x})$挤压到$p_{\theta }(z|x)$之下。

刚刚定义的距离损失可扩展为

${\begin{aligned}D_{KL}(q_{\phi }({z|x})\parallel p_{\theta }({z|x}))&=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {q_{\phi }(z|x)}{p_{\theta }(z|x)}}\right]\\&=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {q_{\phi }({z|x})p_{\theta }(x)}{p_{\theta }(x,z)}}\right]\\&=\ln p_{\theta }(x)+\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {q_{\phi }({z|x})}{p_{\theta }(x,z)}}\right]\end{aligned}}$

现在定义证据下界（Evidence lower bound，ELBO）：

$$L_{\theta ,\phi }(x):=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]=\ln p_{\theta }(x)-D_{KL}(q_{\phi }({\cdot |x})\parallel p_{\theta }({\cdot |x}))$$

使ELBO最大化

$$\theta ^{*},\phi ^{*}={\underset {\theta ,\phi }{\operatorname {argmax} }}\,L_{\theta ,\phi }(x)$$

等于同时最大化$\ln p_{\theta }(x)$、最小化$D_{KL}(q_{\phi }({z|x})\parallel p_{\theta }({z|x}))$。即，最大化观测数据似然的对数值，同时最小化近似后验$q_{\phi }(\cdot |x)$与精确后验$p_{\theta }(\cdot |x)$的差值。

给出的形式不大方便进行最大化，可以用下面的等价形式：

$$L_{\theta ,\phi }(x)=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln p_{\theta }(x|z)\right]-D_{KL}(q_{\phi }({\cdot |x})\parallel p_{\theta }(\cdot ))$$

其中$\ln p_{\theta }(x|z)$实现为$\|x-D_{\theta }(z)\|_{2}^{2}$，因为这是在加性常数的前提下$x\sim {\mathcal {N}}(D_{\theta }(z),I)$得到的东西。也就是说，我们把$x$在$z$上的条件分布建模为以$D_{\theta }(z)$为中心的高斯分布。$q_{\phi }(z|x)$和$p_{\theta }(z)$的分布通常也被选为高斯分布，因为$z|x\sim {\mathcal {(}}E_{\phi }(x),\sigma _{\phi }(x)^{2}I)$和$z\sim {\mathcal {(}}0,I)$可以通过高斯分布的KL散度公式得到：

$$L_{\theta ,\phi }(x)=-{\frac {1}{2}}\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\|x-D_{\theta }(z)\|_{2}^{2}\right]-{\frac {1}{2}}\left(N\sigma _{\phi }(x)^{2}+\|E_{\phi }(x)\|_{2}^{2}-2N\ln \sigma _{\phi }(x)\right)+Const$$

重参数化

重参数化技巧方案。随机变量${\varepsilon }$可作为外部输入注入潜空间$z$，这样一来便可以不更新随机变量，而反向传播梯度。

有效搜索到

$$\theta ^{*},\phi ^{*}={\underset {\theta ,\phi }{\operatorname {argmax} }}\,L_{\theta ,\phi }(x)$$

的典型方法是梯度下降法。

它可以很直接地找到

$$\nabla _{\theta }\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\nabla _{\theta }\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]$$

但是，

$$\nabla _{\phi }\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]$$

不允许将$\nabla _{\phi }$置于期望中，因为$\phi$出现在概率分布本身之中。重参数化技巧（也被称为随机反向传播）则绕过了这个难点。

最重要的例子是当$z\sim q_{\phi }(\cdot |x)$遵循正态分布时，如${\mathcal {N}}(\mu _{\phi }(x),\Sigma _{\phi }(x))$。

重参数化技巧之后的VAE方案

可以通过让${\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {I}})$构成“标准随机数生成器”来实现重参数化，并将$z$构建为$z=\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon$。这里，$L_{\phi }(x)$通过科列斯基分解得到：

$$\Sigma _{\phi }(x)=L_{\phi }(x)L_{\phi }(x)^{T}$$

接着我们有

$$\nabla _{\phi }\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]=\mathbb {E} _{\epsilon }\left[\nabla _{\phi }\ln {\frac {p_{\theta }(x,\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon )}{q_{\phi }(\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon |x)}}\right]$$

由此，我们得到了梯度的无偏估计，这就可以应用随机梯度下降法了。

由于我们重参数化了$z$，所以需要找到$q_{\phi }(z|x)$。令$q_{0}$为$\epsilon$的概率密度函数，那么

$$\ln q_{\phi }(z|x)=\ln q_{0}(\epsilon )-\ln |\det(\partial _{\epsilon }z)|$$

，其中$\partial _{\epsilon }z$是$\epsilon$相对于$z$的雅可比矩阵。由于$z=\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon$，这就是

$$\ln q_{\phi }(z|x)=-{\frac {1}{2}}\|\epsilon \|^{2}-\ln |\det L_{\phi }(x)|-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )$$

变体

许多VAE的应用和扩展已被用来使其适应其他领域，并提升性能。

$\beta$-VAE是带加权KL散度的实现，用于自动发现并解释因子化的潜空间形式。这种实现可以对大于1的$\beta$值强制进行流形分解。这个架构可以在无监督下发现解耦的潜因子。

条件性VAE（CVAE）在潜空间中插入标签信息，强制对所学数据进行确定性约束表示（Deterministic Constrained Representation）。

一些结构可以直接处理生成样本的质量，或实现多个潜空间，以进一步改善表征学习的效果。

一些结构将VAE和生成对抗网络混合起来，以获得混合模型。

另见

• 自编码器
• 人工神经网络
• 深度学习
• 生成对抗网络
• 表征学习
• 稀松字典学习
• 数据增强
• 反向传播算法