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古埃及的分數是不同的單位分數的和,就是分子為1,分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。

構造编辑

古埃及分數的表達形式不是唯一的,還未找到一個算法總是給出最短的形式。

貪婪演算法编辑

贪婪算法:将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少,称为第一种好算法;最大的分母数值最小,称为第二种好算法。 例如:

 。共2项,是第一种好算法,比 的项数要少。

又例如,    的最大分母要小,所以是第二种好算法。

  1. 找出僅小於 的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是:即用 除以 ,捨去餘數,再加1。(如果沒有餘數,則 已是單位分數。)
  2.  減去單位分數,以這個新的、更小的 重複步驟1。

例子:把 轉成單位分數。

  •  ,所以第1個單位分數是 
  •  
  •  ,所以第2個單位分數是 
  •  
  •  ,所以第3個單位分數是 
  •  已是單位分數。

所以結果是:

 

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特斐波那契都提出過以上的方法。

Golomb算法编辑

這個算法是基於貝祖等式的:當 , 互質, 有無窮多對正整數解 

選取最小的正整數解 。取單位分數分母為 ,重複步驟。

 為例:

  •   ,所以第1個單位分數是 
  •  ,所以第2個單位分數是 
  • 第3個單位分數是 

二進制编辑

最基本的方法就是將分數寫成二進制數,便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。

換個說法就是重複求最小的正整數 使得 

這個方法的效率很低。

一個改善之道是選取正整數 使得 。選取適當的正整數  )使得  。將 寫成二進制數。

例如:  

  •   
  •  
  •  
  •  

分拆编辑

將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同,可以用以下其中一種處理方式:

  1. 若它們的分母是雙數,便用它們的和取代;若它們的分母是單數,設它們的分母為 ,用 取代。
  2. 設它們的分母為 ,用 取代。

或是  可等於任意正整數

 表示成为一个级数形式:

 


Engel展開式编辑

歷史编辑

數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段:

  1. 文字代數:其問題以古代數學家所用的文字表述;
  2. 省文代數:簡化問題中一些字詞,以幫助理解;
  3. 符號代數:以符號代表運算符和運算元,使更容易理解。

未知數以符號形式通常記為。我們從古埃及文稿得知,埃及祭司和書記採用文字代數的方式,以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。

這是現存在倫敦的大英博物館萊因德數學紙草書第二中間期)所載,其中一個阿哈問題的翻譯:

「問題24: 一個數量和它的 加起來是19。這數量是什麼?」

「假設是7。7和7的 是8。8要乘上多少倍以得到19,7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」

以現在的符號形式, ,故此 。檢查:  

注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算,如 

一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號,這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。

参见编辑

外部链接编辑