交換律

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交換律(Commutative property)是被普遍使用的一個數學名詞,意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質,而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在,且沒有給定其一特定的名稱,直到19世紀,數學家開始形式化數學理論之後,交換律才得到正式的定义[1][2]

一個表示加法( 3 + 2 = 2 + 3 )的交換律的例子

一般用法编辑

交換律是一個和二元運算函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立,則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。

群論集合論中,許多的代數結構被稱做是可交換的,若其中的運算域滿足交換律。在數學分析線性代數中,一些知名的運算(如實數及複數上的加法乘法)的交換律會經常被用於(或假定存在於)證明之中。[3][4][5]

數學定義编辑

「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中[6][7]

1. 在集合   的一二元運算   被稱之為「可交換」的,若:

 
  • 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。

2. 若稱    下和   「可交換」,即表示:

 

3. 一二元函數 被稱之為「可交換」的,若:

 .

歷史编辑

 
對這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人乘法的交換律來簡化乘積的計算。[8][9]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。[10]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初,那時數學家開始在研究函數的理論。今日,交換律已被普遍認知,且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換(commutative)」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[11][12],這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。[11]

相關性質编辑

 
顯示加法函數對稱性的圖

結合律编辑

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地,交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。

對稱编辑

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數,則此一函數會對   這條線對稱。舉例來說,若設一函數   來表示加法(一可交換運算),所以   ,也因此   會是個如右圖所見的對稱函數。

例子编辑

日常生活中的可交換運算编辑

  • 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算,因為不論是左邊的鞋子先洗,還是右邊的鞋子先洗,最終的結果(兩隻鞋子都洗好)是一樣的。
  • 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。

數學中的可交換運算编辑

 
顯現出乘法 (   ) 的交換律的一個例子

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[13]

 
例如,   ,兩個表示式都等於 9 。
 
例如,   ,兩者都等於 15 。

日常生活中的不可交換運算编辑

 
串接(將字串連在一起的行為)是個不可交換運算。
  • 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算,因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
  • 魔術方塊是不可交換的。例如,將正面順時針扭轉,頂面順時針扭轉,再將正面逆時針扭轉(FUF'),並不會得出如將正面順時針扭轉,再將正面逆時針扭轉,最後再將頂面順時針扭轉(FF'U)一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。

數學中的不可交換運算编辑

一些不可交換二元運算[14]有:

  • 減法  ,不過可將其減法符號轉換成加上其相反數,即可使用交換律。
  • 除法 ,可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
  • 矩陣乘法:
 

數學結構與交換律编辑

註記编辑

  1. ^ Cabillón & MillerCommutative and Distributive
  2. ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4. ISBN 9780191627941. 
  3. ^ Axler, p.2
  4. ^ Gallian, p.34
  5. ^ p. 26,87
  6. ^ Krowne, p.1
  7. ^ Weisstein, Commute, p.1
  8. ^ Lumpkin, p.11
  9. ^ Gay and Shute, p.?
  10. ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
  11. ^ 11.0 11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  12. ^ O'Conner and Robertson, Servois
  13. ^ Krowne, p.1
  14. ^ Yark, p.1
  15. ^ Gallian, p.34
  16. ^ Gallian p.236
  17. ^ Gallian p.250
  18. ^ Gallian p.65

參考資料编辑

書籍编辑

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章编辑

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

線上資源编辑

另見编辑