可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程,指的是形如 的方程.

等价定义编辑

可化为 的方程,称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)编辑

分离变量法

 ,若  ,两边取不定积分,得  ,这里  理解为某个确定的原函数, 为任意常数.

 也是一样的解法.

初值问题(求特解)编辑

1.不定积分法

 为例,若给初始条件 ,则对 两边取不定积分,得

 ,将初始条件代入,求得

 ,再代回原方程即得所要求的特解 .


2.变上限积分法

仍以 为例,若给初始条件 ,对 两边取不定积分,得

 ,其中 分别为 的一个原函数,代入初始条件,有

 ,代回原方程得特解为 ,即

 ,根据牛顿—莱布尼茨公式,可知

 ,在不混淆的时候,可写为

 .


所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.


若又给条件 ,将此条件代入 ,得

 ,即

 .

参考资料编辑

1.《常微分方程(第三版)》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学(第六版)》同济大学

3.《微积分(第二版)》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系