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數學中,李群(英語:Lie group/ˈl/)是具有群结构的光滑微分流形,其群作用微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏,以其為連續變換群奠定基礎。1893年,法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生Arthur Tresse的論文第三頁中。[1]

李群
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群论
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粗略地说,李群是连续的群,也即其元素可由几个实参数描述。因此,李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型,例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模,就像有限群被用于伽罗瓦理论代数方程的离散对称性建模一样。

总览编辑

 
绝对值为1的复数集(对应于复平面上圆心在原点、半径为1的单位圆)是一个在复数乘法下的李群,称为圆群

李群是光滑可微流形,因而可以用微分学来研究,这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象,也即群本身,而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”,而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为,可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如,欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3);共形几何对应于把群扩大到共形群;而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念,其中G是流形"局部"对称性形成的李群。

李群(以及与之关联的李代数)在现代物理学中起到了重要作用,并通常扮演了物理系统中的对称性。这里,李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)(或其双覆盖特殊酉群SU(2)),特殊酉群SU(3)以及庞加莱群

定义与样例编辑

  •  为有限维实解析流形
  • 两个解析映射,二元运算 ,和逆映射 满足群公理,从而具有群结构。

实李群是一个满足下列条件的:它也是一个有限维实光滑流形,其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

 

意味着 是一个从积流形  的光滑映射。这两个条件可以合并成一条,即映射

 

是一个从积流形  的光滑映射。

初步的样例编辑

 
这是一个非紧致的四维实李群;它是 的一个开子集。这个群是非连通的;它有两个连通分量,对应于行列式的正负两种情况。
  • 旋转矩阵构成了 的一个子群,记为 。它自己本身也是一个李群:具体地说,它是一个与微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角  作为参数,这个群可以被参数化为如下形式:
 
其中,角度的加法对应于 中元素的乘法,角度的相反数对应于逆元。因此,乘法和求逆操作也都是可微映射。
  • 一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群,其中第一个对角线上的元素为正,第二个对角线上的元素为1。因此,该群包含了如下形式的矩阵:
 

反例编辑

现在我们给出一个群的例子,它拥有不可数的元素,并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群:

 

其中 是一个固定的无理数。这是一个环面   的子群,它在子空间拓扑下不是李群。[2] 比如说,如果我们取 中的一个点 的任意小邻域 ,那么  中的部分是不连通的。群 在环面上反复缠绕,形成了一个 稠密子群。

另一方面,我们可以给群 指定另一个拓扑,使得两点 之间的距离被定义为群H中连结   的最短路径长度。在这个拓扑下, 通过其元素中对应的 与实直线同胚。在这种拓扑下, 仅仅是加法意义下的实数群,因此也是李群。

 是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

矩阵李群编辑

GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群[3];这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现,一些教科书把注意力限制在这类李群上,包括Hall[4]以及 Rossmann[5]等,这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例:

  • 定义在RC上的特殊线性群SL(n, R)SL(n, C),分别包括了元素属于RC的、行列式为1的n × n矩阵。
  • 酉群U(n)(以及特殊酉群SU(n)), 包含了满足 (对于特殊酉群而言,还需满足 )的n × n复矩阵。
  • 正交群O(n)(以及特殊正交群SO(n)),包含了满足  (对于特殊正交群而言,还需满足 )的n × n实矩阵。

以上列举的群均为经典群

相关概念编辑

与实李群相对应,复李群是在复流形上定义的(例如SL(2, C))。类似地,使用一种Q度量完备化我们可以在 p-进数上定义p-进数李群,一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。

更多李群的样例编辑

李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群代数群(大部分情况下)是由矩阵构成的群(例如正交群辛群),而这些也是李群最常见的例子。

一维李群编辑

一维情况下唯二的连通李群是实直线  (其群操作为加法)和由绝对值为1的复数组成的圆群   (其群操作为乘法)。  也常被记作 ,即 酉群

二维李群编辑

在二维情况下,如果我们只考虑简单连通群,那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类,那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是 (其群操作为向量加法)以及一维仿射群(在前面的小节"初步的样例"中有介绍)。

解析李群与光滑李群编辑

部份书籍在定义李群时假设了解析性,本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑(简记为 )流形,并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强,实则两者等价:

定理.任意 李群上具有唯一的实解析流形结构,使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构编辑

 均为李群,二者之间的一个同态: 群同态并且是解析映射(事实上,可以证明这里解析的条件只需满足连续即可)。显然,两个同态的复合是同态。所有李群的加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射,这个双射及其逆射均为同态,就称之为同构

李代数编辑

李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀;藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構,可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

 為李群,其李代數 定義為 在單位元的切空間 自然具備了矢量空間結構, 上的李括積 定義如下:

  1. 定義 對自身的伴隨作用為   
  2. 取Ad對變元 在單位元上的微分,得到李代數上的伴隨作用,通常記為  
  3. 再對變元 微分,得到映射 。定義李括積為 

不難驗證 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質,例如:連通李群 是交換群若且唯若 是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義,或者取定局部坐標,用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數编辑

 是李群, 是其子群,並帶有李群結構,使得包含映射 為浸入(不一定是閉的),則可得到子李代數 。反之,任意子李代數 透過左平移定義了 上的葉狀結構,取含單位元的極大積分流形,便得到滿足前述條件的子群 。此子群未必是閉子群,它可能是 的稠密子集(考慮環面的例子)。

李代數的映射 未必能提昇至李群的映射 ,但可提昇至映射 ,其中  的萬有覆疊空間

指數映射编辑

對於任意矢量 ,根據常微分方程式的基本理論,存在 中的單參數子群 使得 。由此得到的映射

 
 

稱為指數映射。它總是解析映射。

  的子群,則 ,這是指數映射一詞的緣由。

 連通且非交換時,指數映射 並非同態;局部上, 可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

一般體上的李群编辑

在任意乃至於概形上,都可以定義群概形;這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義,然而李群未必是代數簇

另一方面,若域 對某個絕對值是完備域,其特徵為零,則可照搬解析李群的定義以定義體 上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是 ;至於數論方面,特別涉及自守表示的研究上,則須用到 p進數體的情形。

参考文献编辑

引用编辑

  1. ^ Arthur Tresse. Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations. Acta Mathematica. 1893, 18: 1–88. doi:10.1007/bf02418270. 
  2. ^ Rossmann 2001,Chapter 2.
  3. ^ Hall 2015 Corollary 3.45
  4. ^ Hall 2015
  5. ^ Rossmann 2001

来源编辑

  • D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
  • Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .