右连左极函数

数学中,右连左极函数(càdlàg,RCLL)是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要,这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间(Skorokhod space)。

定义编辑

 
累积分布函数是右连左极函数的一个例子。

 度量空间,并令 。函数 称为右连左极函数。若对于每一 ,都有

  • 左极限 存在;且
  • 右极限 存在并等於 

  是右连续的且有左极限。

例子编辑

  • 全部连续函数都是右连左极函数。
  • 累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间编辑

  的所有右连左极函数的集合常记为 或简记为 ,称为斯科罗霍德空间,是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德(Anatoliy Skorokhod)的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構,这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”(而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”)。为了简化说明,取  (Billingsley的书中描述了更一般的拓扑)

首先我们必须定义连续性模的一个模拟 。对於任意 ,使

 

且对於 ,将右连左极函数模(càdlàg modulus)定义为

 

其中最大下界对所有划分  都存在,且 。这一定义对於非右连左极函数 是有意义的(就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的)且可以说明 是右连左极函数当且仅当  

这是令 表示从 到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合(这些函数是“对时间的蠕动”)。令

 

表示 上的函数的一致范数。将  上的斯科罗霍德度量(Skorokhod metric) 定义为

 

其中 是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看, 度量了“时间的蠕动”,而 度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由 生成的拓扑 称为 上的斯科罗霍德拓扑(Skorokhod topology)。

斯科罗霍德空间的性质编辑

一致拓扑的一般化编辑

E 上的连续函数空间CD 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性编辑

虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间,但是可以证明存在具完备性的关於D拓扑等价度量 σ0

分离性编辑

关於σσ0D可分空间,因此斯科罗霍德空间是波蘭空間

斯科罗霍德空间中的胎紧性编辑

通过应用阿尔泽拉-阿斯科利定理,我们可以证明斯科罗霍德空间D概率测度的一个序列 胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件:

 

 

代数结构与拓扑结构编辑

在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下,D 不是一个拓扑群。

参考文献编辑

  • Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
  • Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.