數論中,合數(也稱為合成數)是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數[1][2]。依照定義,每一個大於1的整數若不是質數,就會是合數[3][4]。而1則被認為不是質數,也不是合數。

古氏積木排列出合數10的因數
合數(右側紅色部份)可以用長寬都不是1的長方形來表示,但質數(左側藍色部份)只能用其中一邊長是1的長方形表示

例如,整數14是一個合數,因為它可以被分解成。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數,因此不是合數。

起初120个合数为: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...(OEIS中的数列A002808)。等等

每一個合數都可以寫成二個或多個質數(不一定是相異質數)的乘積[5]。例如,合數290可以寫成13 × 23,合數360可以寫成23 × 32 × 5,而且若將質因數依大小排列後,此表示法是唯一的。這是算术基本定理[6][7][8][9]

有許多的素性测试可以在不進行因數分解的情形下,判斷一數字是質數還是合數。

性質编辑

  • 所有大於2的偶數都是合數,也就是在正整數中除了2以外,其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
  • 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。(算術基本定理
  • 所有合數都有至少3個正因數,例如4有正因數1、2、4,6有正因數1、2、3、6。
  • 對任一大於5的合數  。(威爾遜定理
  • 對於任意的正整數 ,都可以找到一個正整數 ,使得   、…、 都是合數。

合數的類型编辑

分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數,有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中,亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者,

 

(其中μ為默比烏斯函數 為質因數個數的一半),而前者則為

 

注意,對於質數,此函數會傳回-1,且 。而對於有一個或多個重複質因數的數字  

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數 平方,其正因數有 。一數若有著比它小的整數都還多的正因數,則稱此數為高合成數。另外,完全平方數的正因數個數為奇數個,而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式,是檢查其質因數是否都比特定數字大,或是比特定數字小。這些會稱為光滑數粗糙數

腳註编辑

  1. ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)
  2. ^ Long (1972, p. 16)
  3. ^ Fraleigh (1976, pp. 198,266)
  4. ^ Herstein (1964, p. 106)
  5. ^ Long (1972, p. 16)
  6. ^ Fraleigh (1976, p. 270)
  7. ^ Long (1972, p. 44)
  8. ^ McCoy (1968, p. 85)
  9. ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

參考文獻编辑

  • Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1 
  • Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016 
  • Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950 
  • McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225 
  • Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766 

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