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數學中,同倫群拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一,一般空間的同倫群極難計算,即使對球面 的情形,至今也沒有完整結果。

定義编辑

  為拓撲空間而   球面。選定基點  。定義   ,也就是由保持基點的連續映射  同倫類構成的集合。為了方便起見,以緯垂坐標表示球面上的點,即:  表示   在商映射   下的像。取   的基點為  


注意到當   時,   的元素一一對應到   的連通分支。

 
基本群的群運算

對於    帶有自然的群結構:首先,我們構造一個連續映射:

 

在此   定義為將兩份   沿基點黏合得到的拓撲空間。映射   定義為

 

直觀來看,  的效應相當於將球面   沿赤道掐扁。

給定  ,我們定義  ,由於  ,此函數有完善的定義。此外也不難驗證   僅依賴於   的同倫類。

可以證明運算   滿足公理,其單位元素為常值映射    不外就是基本群;而當   時, 阿貝爾群,稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點,則得到的集合   等同於    作用下的軌道集。可見若    未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列编辑

  為保基點的塞爾纖維化,纖維的同倫類定義為  。此時可導出同倫群的長正合序列(以下略去基點):

 

儘管這裡的   只是個集合,而   未必是阿貝爾群,它們仍帶有特殊的元素(  的單位元、  中包含基點的連通分支),可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群编辑

給定  ,可以定義相對同倫群   為映射   的同倫類,這意味著我們僅考慮滿足   的連續映射,以及其間滿足相同限制的同倫。若取   為一點,便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻编辑